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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 51. |
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए - `(sinx-siny)/(cos x+cosy)=tan(x-y)/(2)` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=(sinx-siny)/(cosx+cosy)=(2cos ((x+y)/(2))sin((x-y)/(2)))/(2cos((x+y)/(2)).cos((x-y)/(2)))` `=(sin((x-y)/(2)))/(cos((x-y)/(2)))=tan((x-y)/(2))=` दायाँ पक्ष |
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| 52. |
यदि `2tan A=3 tan B` तो सिद्ध कीजिए कि `tan(A-B)=(sin 2B)/(5-cos 2B)` |
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Answer» दिया है -`" "2tan A=3 tan B" …(i)"` बायाँ पक्ष `=tan (A-B)=(tan A- tanB)/(1+tan A tanB)` `=(2 tanA-2 tanB)/(2+2 tan A tan B)` `=(3 tan B - 2 tan B)/(2+3 tan B tan B)=(tan B)/(2+3 tan^(2) B)" "`(समीकरण (i ) का प्रयोग करने पर ) `=(sin B cosB)/(2cos^(2)B+3sin^(2)B)=(2sin B cos B)/(2(2cos^(2)B+3sin^(2)B))` `=(sin 2B)/(4cos^(2)B+6sin^(2)B)` `=(sin 2B)/(5cos^(2)B-cos^(2)B+sin^(2)B+5sin^(2)B)` `=(sin 2B)/(5(cos^(2)B+sin^(2)B)-(cos^(2)B-sin^(2)B))` `=(sin 2B)/(5-cos 2B)=` बायाँ पक्ष |
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| 53. |
सिद्ध कीजिए कि - `cot 4x (sin 5x+sin 3x)=cot x(sin 5x-sin 3x)` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=cot 4x(sin 5x+sin 3x)` `=cot 4x(2sin 4xcosx)` `=(cos 4x)/(sin 4x).2sin 4x cos x` `=2cos x cos 4x=(cos x)/(sinx)(2cos 4x sinx)` `=(cos x)/(sinx)(sin 5x-sin 3x)=cot x (sin 5x-sin 3x)` `" "[because 2 cos A sin B=sin (A+B)-sin (A-B)]` = दायाँ पक्ष |
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| 54. |
यदि `A=n sin (A+2B)`, तो सिद्ध कीजिए कि - - `tan(A+B)=(1+n)/(1-n)tan B` |
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Answer» दिया है - `sinA=n sin(A+2B)` `rArr" "(1)/(n)=(sin(A+2B))/(sinA)` `" "(1+n)/(1-n)=(sin(A+2B)+sinA)/(sin(A+2B)-sinA)" "` (योगान्तरानुपात विधि से ) `=([2sin. (A+2V+1)/(2)cos.(A+2B-A)/(2)])/([2cos .(A+2B+A)/(2)sin.(A+2B-A)/(2)])` `=(2sin(A+B)cos B)/(2cos (A+B)sinB)=tan (A+B)cotB` `rArr" "(1)/(cot B).(1+n)/(1-n)=tan(A+B)` `rArr" "((1+n)/(1-n))tanB=tan(A+B)` |
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| 55. |
सिद्ध कीजिए कि `2(sin^(6)theta+cos^(6)theta)-3(sin^(4)theta+cos^(4)theta)+1=0` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=2(sin^(6)theta+cos^(6)theta)-3(sin^(4)theta+cos^(4)theta)+1` `=2[(sin^(2)theta)^(3)+(cos^(2)theta)^(3)]-3(sin^(4)theta+cos^(4)theta)+1` `=2(sin^(2)theta+cos^(2)theta)(sin^(4)theta+cos^(4)theta-sin^(2)thetacos^(2)theta)-3(sin^(4)theta+cos^(4)theta)+1` `=2sin^(4)theta+2cos^(4)theta-2sin^(2)theta cos^(2)theta-3sin^(4)theta-3cos^(4)theta+1` `=1-(sin^(4)theta+cos^(4)theta+2sin^(2)thetacos^(2)theta)=1-(sin^(2)theta+cos^(2)theta)^(2)` `=1-1=0=` दायाँ पक्ष |
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| 56. |
सिद्ध कीजिए कि - `cot x cot 2x - cot 2x cot 3x-cot 3x cot x =1` |
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Answer» हम लिख सकते हैं `3x=x+2x` `rArr" "cot 3x = cot (x+2x)=(cotxcot2x-1)/(cotx+cot2x)` `rArr" "cot 3x(cotx+cot2x)=cot x .cot 2x-1` `rArr" "cot x cot 3x+cot 2x cot 3x=cotx cot 2x-1` `rArr" "-cot x cot 2x+cot x cot 3x + cot 2x cot 3x =-1` `rArr" "cot x cot 2x-cot 2x cot 3x-cot x cot 3x=1` |
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| 57. |
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए - `sin^(2)6x-sin^(2)4x=sin 2x sin 10x` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=sin^(2)6x-sin^(2)4x` `=sin(6x+4x)sin (6x-4x)" "(because (A+B).sin(A-B)=sin^(2)A-sin^(2)B)` `=sin 10x. sin 2x=` दायाँ पक्ष |
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| 58. |
यदि `A+B+C = pi,` सिद्ध कीजिए कि `cos^(2).(A)/(2)+cos^(2).(B)/(2)-cos^(2).(C)/(2)=2cos.(A)/(2)cos.(B)/(2)sin.(C)/(2)` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=cos^(2).(A)/(2)+cos^(2).(B)/(2)-cos^(2).(C)/(2)` `=(1)/(2)(1+cosA)+(1)/(2)(1+cosB)-(1)/(2)(1+cosC)` `=(1)/(2)+(1)/(2)(cosA+cosB-cosC)` `=(1)/(2)+(1)/(2)[(4cos.(A)/(2)cos.(B)/(2)sin.(C)/(2))-1]` `=2cos.(A)/(2)cos.(B)/(2)sin.(C)/(2)=` दायाँ पक्ष |
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| 59. |
सिद्ध कीजिए कि `(1+sin 2x-cos 2x)/(1+sin 2x+cos 2x)=tan x` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=(1+sin 2x -cos 2x)/(1+sin 2x+cos 2x)` `=((1-cos 2x)+sin 2x)/((1+cos 2x)+sin 2x)=((1-1+2sin^(2)x)+sin 2x)/((1+2cos^(2)x-1)+sin2x)` `=(2sin^(2)x+2sin x cosx)/(2cos^(2)x+2sin x cosx)=(2sin x(sinx+cosx))/(2cosx(sinx+cosx))` `=(sinx)/(cosx)=tan x = ` दायाँ पक्ष |
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| 60. |
सिद्ध कीजिए कि `2costheta=sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+2cos 8 theta)))` |
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Answer» दायाँ पक्ष `=sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+2 cos 8 theta)))` `=sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2(1+cos 8 theta))))=sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2.2cos^(2)4 theta)))` `=sqrt(2+sqrt(2+sqrt(4cos^(2)4 theta)))=sqrt(2+sqrt(2(1+cos 4theta)))` `=sqrt(2+sqrt(2.2 cos^(2) 2 theta))=sqrt(2+sqrt(4cos^(2)2 theta))` `=sqrt(2+2 cos 2 theta)=sqrt(2(1+cos 2theta))=sqrt(2.2cos^(2)theta)` `=2 cos theta=`बायाँ पक्ष |
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| 61. |
यदि `tan^(2)theta=1+2tan^(2)phi` तो सिद्ध कीजिए कि `cos 2phi=1+2cos 2 theta` |
| Answer» बायाँ पक्ष `cos 2phi-2costheta=(1-tan^(2)phi)/(1+tan^(2)phi)-2((1-tan^(2)theta)/(1+tan^(2)theta))=(1-tan^(2)phi)/(1+tan^(2)phi)-2[(1-(1+2tan^(2)phi))/(1+(1+2tan^(2)phi))]` अब सरल करने पर | |
| 62. |
सिद्ध कीजिए कि `2cos^(2).(pi)/(4)+3sec^(2).(pi)/(6)=5` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=2cos^(2).(pi)/(4)+3sec^(2).(pi)/(6)=2(cos.(pi)/(4))^(2)+3(sec.(pi)/(6))^(2)` `=2((1)/(sqrt2))^(2)+3((2)/(sqrt3))^(2)=2xx(1)/(2)+3xx(2^(2))/(3)=1+4=5` |
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| 63. |
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए - `cos((3pi)/(4)+x)cos((3pi)/(4)-x)=-sqrt2sinx` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=cos((3pi)/(4)+x)-cos((3pi)/(4)-x)` `=cos A-cos B" जहाँ ", A=(3pi)/(4)+x, B=(3pi)/(4)-x` `=-2sin.(A+B)/(2)sin.(A-B)/(2)` `=-2sin[((3pi)/(4)+x+(3pi)/(4)-x)/(2)].sin[(((3pi)/(4)-x)-((3pi)/(4)-x))/(2)]` `=-2sin(((3pi)/(2))/(2)).sin.((2x)/(2))=-2sin.(3pi)/(4).sinx=-2sin(pi-(pi)/(4))sinx` `=-2sin.(pi)/(4).sinx=-2xx(1)/(sqrt4).sinx` = दायाँ पक्ष |
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| 64. |
सिद्ध कीजिए कि `sqrt(2+sqrt(2+2 cos 4 theta))=2cos theta` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=sqrt(2+sqrt(2+2cos 4 theta))` `=sqrt(2+sqrt(2(1+cos theta)))` `=sqrt(2+sqrt(4cos^(@)2 theta))` `=sqrt(2+2cos 2 theta)=sqrt(2(1+cos 2 theta))` `=sqrt(4cos^(2)theta)=2 cos theta=` दायाँ पक्ष |
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| 65. |
सिद्ध कीजिए कि `(cosx)/((1-sinx))=tan((pi)/(4)+(x)/(2))` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=(cosx)/(1-sinx)=(cos^(2)x//2-sin^(2)x//2)/(1-2sinx//2cosx//2)` `=(cos^(2)x//2-sin^(2)x//2)/((cos^(2)x//2+sin^(2)x//2)-(2sinx//2cosx//2))` `=((cosx//2-sinx//2)(cosx//2+sinx//2))/((cosx//2-sinx//2)^(2))` `=((cosx//2+sinx//2))/((cosx//2-sinx//2))=(cosx//2(1+(sinx//2)/(cosx//2)))/(cosx//2(1-(sinx//2)/(cosx//2)))` `=(1+tanx//2)/(1-tanx//2)=(tanpi//4+tanx//2)/(1-tanpi//4 tan x//2)" "(because tan.(pi)/(4)=1)` `=tan((pi)/(4)+(x)/(2))=` दायाँ पक्ष |
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| 66. |
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए - `sin(n+1)x sin (n+2)x+cos(n+1)x cos (n+2)x=cosx` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=sin(n+1)x sin (n+2)x +cos (n+1)x cos (n+2)x` `=cos(n+2)x cos (n+1)x +sin(n+2)x sin(n+1)x` `=cos A cos B +sin A sin B" "("जहाँ "A=(n+2)x, B=(n+1)x)` `=cos(A-B)=cos[(n+2)x-(n+1)x]` `=cosx =` दायाँ पक्ष |
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| 67. |
सिद्ध कीजिए कि `(cos 2 theta)/(1+sin theta)=(1-tan theta)/(1+tant theta)` |
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Answer» दायाँ पक्ष `=(1-tan theta)/(1+tan theta)` `=((1-tan theta))/((1+tan theta))=(1-tan^(2)theta)/((1+tan theta)^(2))` `=(1-tan^(2)theta)/(1+tan^(2)theta+2 tan theta)=(((1-tan^(2)theta)/(1+tan^(2)theta)))/(((1+tan^(2)theta)/(1+tan^(2)theta))+((2tan theta)/(1+tan^(2)theta)))` `=(cos 2 theta)/(1+sin 2 theta)" "(because cos theta = (1-tan^(2)theta)/(1+tan^(2)theta), sin 2 theta=(2 tan theta)/(1+tan^(2)theta))` `= ` बायाँ पक्ष |
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| 68. |
सिद्ध कीजिए कि - `tan 6^(@)tan 42^(@) tan 66^(@) tan 78^(@)=1` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=tan6^(@)tan42^(@)tan66^(@)tan78^(@)` `=(sin 6^(@))/(cos 6^(@)).(sin 42^(@))/(cos 42^(@)).(sin66^(@))/(cos 66^(@)).(sin 78^(@))/(cos 78^(@))` `=(2sin 66^(@) sin 6^(@))/(2cos 6^(@) cos 6^(@)).(2sin 78^(@) sin 42^(@))/(2cos 78^(@) cos 42^(@))` `=(cos 60^(@)-cos 72^(@))/(cos 60^(@)+cos 72^(@)).(cos 36^(@)-cos 120^(@))/(cos 36^(@)+cos 120^(@))` `=(((1)/(2)-sin 18^(@))(cos 36^(@)+(1)/(2)))/(((1)/(2)+sin 18^(@))(cos 36^(@)-(1)/(2)))=((1-2sin 18^(@))/(1+2sin 18^(@)))((2cos 36^(@)+1)/(2cos 36^(@)-1))` `=({1-2((sqrt5-1)/(2))}.{2((sqrt5+1)/(4))+1})/({1+2((sqrt5-1)/(4))}.{2((sqrt5+1)/(4))-1})` `=(2-sqrt5+1)/(2+sqrt5-1)xx(2sqrt5+2+4)/(2sqrt5+2-4)` `=(3-sqrt5)/(1+sqrt5)xx(3+sqrt5)/(sqrt5-1)=(9-5)/(5-1)=1=` दायाँ पक्ष |
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| 69. |
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए । `sin.(31pi)/(3)` |
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Answer» `sin.(31pi)/(3)=sin.(31xx180^(@))/(3)=sin 1860^(@)=sin(5xx360^(@)+60^(@))` `=sin 60^(@)=(sqrt3)/(2)` |
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| 70. |
एक घड़ी में मिनट की सुई 45 सेमी लम्बाई है। 18 मिनट में इसकी नोक कितनी दुरी तय करेगी ? |
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Answer» हम जानते हैं, कि घड़ी की सुई 60 मिनट में एक चक्कर पूरी करती है। अतः मिनट की सुई द्वारा 60 मिनट में बनाया गया कोण `=360^(@)=2pi` रेडियन `therefore" "` 18 मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण `=2pi xx(18)/(60)` रेडियन `=(3pi)/(5)` रेडियन हम जानते हैं, कि `" "l=r theta` `rArr" "l=45 xx(3pi)/(5) = 27 pi =(27xx22)/(7)=84.86` सेमी |
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| 71. |
यदि `sintheta=(15)/(17)" व "cos phi=(12)/(13),` जहाँ `theta` व `phi` प्रथम चतुर्थांश में आते हो, तब निम्न के मान ज्ञात कीजिए | `sin(theta+phi)` |
| Answer» प्रथम चतुर्थांश में, `cos theta=(8)/(17), sin phi=(5)/(13)` | |
| 72. |
यदि `sintheta=(15)/(17)" व "cos phi=(12)/(13),` जहाँ `theta` व `phi` प्रथम चतुर्थांश में आते हो, तब निम्न के मान ज्ञात कीजिए | `tan(theta+phi)` |
| Answer» प्रथम चतुर्थांश में, `cos theta=(8)/(17), sin phi=(5)/(13)` | |
| 73. |
सिद्ध कीजिए कि - `cot^(4)theta+cot^(2)theta="cosec"^(4)theta-"cosec"^(2)theta` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=cot^(4)theta+cot^(2)theta` `=(cot^(2)theta)^(2)+cot^(2)theta` `=("cosec"^(2)theta-1)^(2)+("cosec"^(2)theta-1)` `="cosec"^(4)theta+1-2"cosec"^(2)theta+"cosec"^(2)theta-1` `="cosec"^(4)theta-"cosec"^(2)theta=` दायाँ पक्ष |
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| 74. |
`12sin.( pi)/(6) - 16 sin ^(3) . ( pi)/(6)` बराबर हैA. 4B. 2C. 8D. `2 sqrt(3)` |
| Answer» Correct Answer - a | |
| 75. |
`sin x+ sin3x + sin5x=0` |
| Answer» Correct Answer - `x=(npi)/(3), or n pi pm (pi)/(3), n in Z` | |
| 76. |
यदि `A` और `B` न्यूनतम हों तथा `sin A= (4)/(5)` और `cos B = ( 12)/(13)`हो, तो `sin ( A+B)` का मान होगा `:`A. `(5)/(8)`B. `(13)/(25)`C. `(63)/(65)`D. कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 77. |
`3 cos theta + 4 sin theta + 10` का न्यूनतम मान हैA. 5B. 9C. 7D. 3 |
| Answer» Correct Answer - a | |
| 78. |
यदि `"cosec " theta+cot theta=5//2,` तो `tan theta` का मान है-A. `(15)/(16)`B. `(21)/(20)`C. `(3)/(7)`D. `(20)/(21)` |
| Answer» Correct Answer - d | |
| 79. |
यदि `sec theta=sqrt2` तथा `(3pi)/(2) lt theta lt 2pi` तो `(1+tan theta +"cosec "theta)/(1+cot theta-"cosec " theta)` का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है - `" " sec theta=sqrt2 rArr cos theta=(1)/(sec theta)=(1)/(sqrt2)` `sin^(2)theta +cos^(2)theta =1` का प्रयोग करने पर `sin theta = sqrt(1-cos^(2)theta) = sqrt(1-(1)/(2))=pm sqrt((1)/(2))` `rArr" "sin theta = pm sqrt((1)/(2))` `therefore" "(3pi)/(2) lt theta lt 2pi rArr theta` चतुर्थ चतुर्थांश में `sin theta` स्थित है। तथा इस चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है । इसलिए `sin theta =-(1)/(sqrt2)` `rArr" "tan theta =(sin theta)/(cos theta)=(-1//sqrt2)/(1//sqrt2)=-1` तथा `" "cot theta=(1)/(tan theta)=-1" व cosec "theta=(1)/(sin theta)=(1)/(-1//sqrt2)=-sqrt2` इसलिए `(1+tan theta+"cosec" theta)/(1+cot theta-"cosec "theta)=(1+(-1)+(-sqrt2))/(1+(-1)+(-sqrt2))=(-sqrt2)/(sqrt2)=-1` |
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| 80. |
`"cosec "(-1410)^(@)` का मान है - |
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Answer» `"cosec" (-1410)^(@)=-"cosec"(4xx360^(@)+30^(@))` `=-"cosec" 30^(@)=-2` |
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| 81. |
सिद्ध कीजिए कि `(cosA+cosB)^(2)+(sinA+sinB)^(2)=4cos^(2)((A-B)/(2))` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=(cosA+cosB)^(2)+(sin A+sinB)^(2)` `=[2cos((A+B)/(2))cos((A-B)/(2))]^(2)+[2sin((A+B)/(2))cos((A-B)/(2))]^(2)` `=4cos^(2)((A-B)/(2))[cos^(2)((A+B)/(2))+sin^(2)((A+B)/(2))]` `=4cos^(2)((A-B)/(2))=` दायाँ पक्ष |
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| 82. |
यदि `tan alpha=(m)/(m+1)` तथा `tan beta=(1)/(2m+1)` तो `alpha+beta` का मान होगा -A. `pi//3`B. `pi//4`C. 0D. `pi//2` |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 83. |
यदि `sinA=n sin B` हो, तो `(n-1)/(n+1) tan.(A+B)/(2)` का मान होगा -A. `sin.(A-B)/(2)`B. `tan.(A-B)/(2)`C. `cot.(A-B)/(2)`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 84. |
यदि `cos 20^(@)-sin 20^(@)=p` हो, तो `cos 40^(@)` का मान होगा-A. `p^(2)sqrt(2-p^(2))`B. `psqrt(2-p^(2))`C. `p+sqrt(2-p^(2))`D. `p-sqrt(2-p^(2))` |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 85. |
यदि `sin theta =(4)/(5)`, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए । `sin 2 theta` यहाँ `theta` एक न्यूनकोण है । |
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Answer» दिया है - `" "sin theta = (4)/(5)` इसलिए `" "cos theta=sqrt(1-sin^(2)theta)=sqrt(1-((4)/(5))^(2))=sqrt(1-(16)/(25))=(3)/(5)` और `" "tan theta =(sin theta)/(cos theta)=(4//5)/(3//5)=(4)/(3)` `sin 2 theta =(sin theta)/(cos theta)=(4//5)/(3//5)=(4)/(3)` `=2xx(4)/(5)xx(3)/(5)=(24)/(25)` |
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| 86. |
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए। `((4pi)/(5))^(c)` |
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Answer» यहाँ हम निम्न सूत्र उपयोग करेंगे `1^(c)=(180^(@))/(pi)` `((4pi)/(5))^(c)=((4pi)/(5)xx(180^(@))/(pi))=144^(@)` |
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| 87. |
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए। `((2pi)/(15))^(c)` |
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Answer» यहाँ हम निम्न सूत्र उपयोग करेंगे `1^(c)=(180^(@))/(pi)` `((2pi)/(15))^(c)=((2pi)/(15)xx(180^(@))/(pi))=24^(@)` |
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| 88. |
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए। `((pi)/(3))^(c)` |
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Answer» यहाँ हम निम्न सूत्र उपयोग करेंगे `1^(c)=(180^(@))/(pi)` `((pi)/(3))^(c)=((pi)/(3)xx(180^(@))/(pi))=60^(@)` |
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| 89. |
सिद्ध कीजिए कि `cos 6x=32cos^(6)x-48cos^(4)x+18cos^(2)x-1` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=cos6x` `=cos 3(2x)=cos3theta=cos(2theta+theta)` `=cos 2 theta cos theta - sin 2 theta sin theta" "("माना "theta = 2x)` `=(2cos^(2)theta-1)cos theta - 2 sin theta cos theta sin theta` `=2cos^(3)theta-cos theta-2cos theta(1-cos^(2)theta)` `=2cos^(3)theta-cos theta-2cos theta+2cos^(3)theta` `=4cos^(3)theta-3cos theta =4cos^(3)2x-3 cos 2x" "(because theta=2x)` `=4(2cos^(2)x-1)^(3)-3(2cos^(2)x-1)` `=4(8cos^(6)x-12 cos^(4)x+6cos^(2)x-1)-(6cos^(2)x-3)` `=32cos^(6)x-48cos^(4)x+18cos^(2)x-1=` दायाँ पक्ष |
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| 90. |
यदि `A+B+C=pi` तो सिद्ध कीजिए `sin^(2).(A)/(2)+sin^(2).(B)/(2)+sin^(2).(C)/(2)=1-2sin.(A)/(2)sin.(B)/(2)sin.(C)/(2)` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=(1)/(2)[2sin^(2).(A)/(2)+2sin^(2).(B)/(2)+2sin^(2).(C)/(2)]` `=(1)/(2)[1-cosA+1-cosB+2sin^(2).(C)/(2)]` `=(1)/(2)[2-(cosA+cosA)+2sin^(2).(C)/(2)]` `=(1)/(2)[2-2cos.(A+B)/(2)cos.(A-B)/(2)+2sin^(2).(C)/(2)]` `=(1)/(2)[2-2cos((pi)/(2)-(C)/(2))cos.(A-B)/(2)+2sin^(2).(C)/(2)]` `=(1)/(2)[2-2sin.(C)/(2)cos.(A-B)/(2)+2sin^(2).(C)/(2)]` `=(1)/([2-2sin.(C)/(2){cos.(A-B)/(2)+sin.(C)/(2)}]` `=(1)/(2)[2-2sin.(C)/(2){cos.(A-B)/(2)-sin.((pi)/(2)-(A+B)/(2))}]` `=(1)/(2)xx2[1-sin.(C)/(2){cos.(A-B)/(2)-cos.(A+B)/(2)}]` `=[1-sin.(C)/(2){2sin.(A)/(2)sin.(B)/(2)}]` `=1-2sin.(A)/(2)sin.(B)/(2)sin.(C)/(2)=` दायाँ पक्ष |
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| 91. |
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए। `340^(@)` |
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Answer» हम जानते हैं कि, `" "180^(@)=pi^(@)` `rArr" "1^(@)=((pi)/(180))^(c)` `340^(@)=(340xx(pi)/(180))^(c)=((17pi)/(9))^(c)` |
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| 92. |
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए। `75^(@)` |
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Answer» हम जानते हैं कि, `" "180^(@)=pi^(@)` `rArr" "1^(@)=((pi)/(180))^(c)` `75^(@)=(75xx(pi)/(180))^(c)=((5pi)/(12))^(c)` |
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| 93. |
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए। `60^(@)` |
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Answer» हम जानते हैं कि, `" "180^(@)=pi^(@)` `rArr" "1^(@)=((pi)/(180))^(c)` `60^(@)=(60xx(pi)/(180))^(c)=((pi)/(3))^(c)` |
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| 94. |
किसी त्रिभुज के कोण समांतर श्रेणी में है। यदि सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे कोण का तिगुना है, तो उसका मान डिग्री तथा रेडियन में ज्ञात कीजिए । |
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Answer» Correct Answer - `30^(@), 60^(@), 90^(@)` या `(pi)/(6),(pi)/(3),(pi)/(2)` माना कोण `alpha-beta, alpha` व `alpha+beta` हैं, `rArr" "alpha - beta +alpha +alpha+beta= 180^(@) rArr alpha = 60^(@)` अब महत्तम कोण `=(alpha+beta)^(@)` व न्यूनतम कोण `=(alpha-beta)^(@)` |
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| 95. |
यदि `tan(A+B)=(3)/(4)` तथा `tan(A-B)=(8)/(15)`, तो सिद्ध कीजिए कि `tan 2A=(77)/(36)` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=tan 2A` `=tan[(A+B)+(A-B)]` `=(tan(A+B)+tan(A-B))/(1-tan(A+B)tan(A-B))` `=((8)/(4)+(8)/(15))/(1-(3)/(4)xx(8)/(15))" "(because "दिया है "tan(A+B)=(3)/(4), tan (A-B) =(8)/(15))` `=((77)/(60))/((60-24)/(60))=(77)/(35)=` दायाँ पक्ष |
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| 96. |
यदि `sin theta=(12)/(13)` तो `theta` द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, तो `sec theta+ tan theta` का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया है- `" "sin theta=(12)/(13)` `sin^(2)theta+cos^(2) theta=1` का प्रयोग करने पर `cos theta=pm sqrt(1-sin^(2)theta)` दिये गये अनुसार `cos theta` द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है तथा द्वितीय चतुर्थांश में `cos theta` ऋणात्मक होता है। इसलिए `" "cos theta=- sqrt(1-sin^(2)theta)` इसलिए `" "sec theta+tan theta=(1)/(cos theta)+(sin theta)/(cos theta)` `=(1+sin theta)/(-sqrt(1-sin^(2)theta))=(1+(12)/(13))/(-sqrt(1-((12)/(13))^(2)))` `=((25)/(13))/(-sqrt((25)/(169)))=((25)/(13))/((-5)/(13))=-5` |
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| 97. |
सिद्ध कीजिए कि `(cos(90^(@)+theta)sec(270^(@)+theta)sin(180^(@)+theta))/("cosec "(-theta)cos(270^(@)-theta)tan(180^(@)+theta))=cos theta` |
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Answer» बायाँ पक्ष `=(cos(90^(@)+theta)sec(270^(@)+theta)sin(180^(@)+theta))/("cosec "(-theta)cos(270^(@)-theta)tan(180^(@)+theta))=cos theta` `=(cos(90^(@)+theta)sec{180^(@)+(90^(@)+theta)}sin(180^(@)+theta))/(-"cosec "theta cos {180^(@)+(90^(@)-theta)}tan(180^(@)+theta))` `=(cos(90^(@)+theta){-sec(90^(@)+theta)}-{-sin theta})/(-"cosec "theta{-cos(90^(@)-theta)}tan theta)` `" "sin (180^(@)+theta )=-sin theta` `" " cos(180^(@)+theta)=-cos theta` `tan(180^(@)+theta)=tan theta` `" व "sec(180^(@)+theta)=-sec theta" का प्रयोग करते हुए")` `=((-sin theta)"cosec "theta(-sin theta))/((-"cosec "theta)(-sin theta)tan theta)" "cos (90^(@)+theta)=-sin theta` `" "sec(90^(@)+theta)= -"cosec "theta` `" "cos(90^(@)-theta)=sin theta` का प्रयोग करते हुए `=cos theta = ` दायाँ पक्ष |
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| 98. |
सिद्ध कीजिए कि - `(cos theta)/(1-tan theta)+(sin theta)/(1-cot theta)=sin theta+cos theta` |
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Answer» बायाँ पक्ष `(cos theta)/(1-tan theta)+(sin theta)/(1-cot theta)` `=(cos theta)/(1-(sin theta)/(cos theta))+(sin theta)/(1-(cos theta)/(sin theta))=(cos theta. cos theta)/((cos theta. sin theta))+(sin theta. sin theta)/((sin theta-cos theta))` `=(cos^(2) theta)/((cos theta-sin theta))+(sin^(2) theta)/((sin theta-cos theta))` `=(cos^(2)theta-sin^(2)theta)/((cos theta-sin theta))` `=((cos theta-sin theta)(cos theta+sin theta))/((cos theta-sin theta))` `=cos theta + sin theta=` दायाँ पक्ष |
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| 99. |
सिद्ध कीजिए - `tan 225^(@)cot 405^(@)+tan 765^(@)cot 675^(@)=0` |
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Answer» हम जानते हैं, `tan 225^(@)=tan(180^(@)+45^(@))=tan45^(@)=1" "[because tan(180^(@)+theta)=tan theta]` `cot 405^(@)=cot(360^(@)+45^(@))=cot 45^(@)=1" "[because cot (360^(@)+theta)=cot theta]` `tan 765^(@)=tan(2xx360^(@)-45^(@))=-cot 45^(@)=-1" "[because tan(2xx360^(@)+theta)=tan theta]` तथा`" "cot(675^(@))=cot(2xx360^(@)-45^(@))=-cot 45^(@)=-1` बायाँ पक्ष `" "=tan 225^(@) cot 405^(@)+tan 765^(@)cot 675^(@)` `=1xx1+1xx(-1)" "`(उपरोक्त मान रखने पर) = 0 = दायाँ पक्ष |
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| 100. |
`tan x=-(5)/(12),x` दूसरे चतुर्थांश में स्थित है | |
| Answer» Correct Answer - `sin x=(5)/(13), cosec x=(13)/(5), cos x =-(12)/(13), sec x =-(13)/(12), cot x=-(12)/(5)` | |