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51.

` ( 1 + x ) ^n ` के विस्तार में , यदि ` P(n)` द्विपद गुणांकों का गुणनफल है, तब सिद्ध कीजिए कि - ` (P ( n + 1 )) /( P (n ) ) = ((n + 1 )^n )/ ( n!) `

Answer» बायाँ पक्ष = ` (""^ ( n + 1 ) C_ 0 * ""^ (n + 1 ) C _ 1 * ""^ ( n + 1 ) C _ 2 ... ""^ ( n + 1 ) C _ r .... ""^ ( n + 1 ) C _ ( n + 1 ))/( ""^ nC _ 0 * ""^n C _ 1 *""^nC _ 2 ... ""^ n C _ r ... ""^n C _ n ) `
` ""^ ( n + 1 ) C _ 0 = ""^ n C _ 0 = 1 ` तथा ` ""^ ( n + 1 ) C _ ( n + 1 ) = 1 ` रखने पर ,
` therefore ( P ( n + 1 ))/( P (n )) = (""^ ( n + 1 ) C _ 1 ) /( ""^ n C _ 1 ) * (""^ (n + 1 ) C _ 2 ) /( ""^ n C _ 2) ... ( ""^ ( n + 1 ) C _ r ) / ( ""^ n C _ r ) ... ( ""^ ( n + 1 ) C _ n ) /( ""^nC _ n ) `
इसलिए ` (""^ (n + 1 ) C _ r) /( ""^ n C _ r ) = (( n + 1 ) ! )/( r! ( n - r + 1 ) ! ) * (r ! ( n- r ) ! ) /( n ! ) = ((n + 1))/( (n - r + 1 )) " " ( 1le r le n ) `
` r = 1, 2, 3,..., n ` रखकर प्रत्येक की गुणा करने पर,
` (P ( n + 1))/( P ( n )) = ((n + 1 ) ( n + 1 ))/( n ( n - 1 ) ...2 * 1 ) = (( n + 1 ) ^n ) /( n! ) `
Discussion
52.

` ( x^ 4 - ( 1 ) / ( x ^ 3 )) ^( 15 ) ` के विस्तार में ` x^( -17 ) ` तथा ` x ^( 32 ) ` के गुणांकों के योग ज्ञात कीजिये |

Answer» ` ( x^ 4 - ( 1 ) /( x ^ 3 ))^ ( 15 ) ` के विस्तार में व्यापक पद ` = T _ ( r + 1 ) = ( - 1 ) ^ r ""^( 15 ) C _ r ( x ^ 4 ) ^( 15 - r ) ( ( 1 ) /( x ^3 )) ^ r `
` = ( -1 ) ^ r ""^ (15)C _ r x ^( 60 - x ) `
(i) ` x ^( 32)` के लिए, ` 60 - 7r = 32 rArr r =4 `
` therefore " " x ^( 32) ` का गुणांक = ` ( - 1 ) ^(4)*""^(15) C _ 4 = ""^(15) C _ 4 `
(ii) `x^( -17) ` के लिए, ` 60 - 7r = - 17 rArr r =11 `
` therefore " " x ^( - 17 ) ` का गुणांक = ` ( -1 ) ^(11) ""^(15) C _ ( 11 ) = - ""^(15) C _ 4 `
प्रश्नानुसार , ` x ^( -17 ) ` व ` x^(32) ` के गुणांकों का योग = `""^(15) C _ 4 + ( - ""^(15) C_4) `
= ` ""^(15)C_ 4 - ^(15)C_4 = 0`
Discussion
53.

`(98)^(5)` की गणना कीजिए ।

Answer» `(98)^(5)=(100-2)^(5)`
`=(100)^(5)-.^(5)C_(1)(100)^(4).2+.^(5)C_(2)(100)^(3).(2)^(2-5)C_(3)(100)^(1).(2)^(4)-.^(5)C_(5).(100)^(0).(2)^(5)`
`= 10^(10) - 5 xx 2 xx 10^(8) + 10 xx 4 xx 10^(6) - 10 xx 8 xx 10^(4) + 5 xx 16 xx 100 - 32`
`= 10^(10)-10^(9)+4 xx 10^(7)-8 xx 10^(5) + 8000 - 32`
`= 10000000000 - 10000000000 + 40000000 - 800000 + 7968`
= 9039207968.
Discussion
54.

यदि `(2 + a)^(50)` के द्विपद प्रसार का सत्रहवाँ और अठारहवाँ पद समान हो, तो a का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» r + 1 वां पद `T_(r + 1)` से प्रकट करे, तब
`T_(r+1) = .^(n)C_(r).x^(n-r). A^(r)`
17 वे पद के लिए `(2 + a)^(50)` के द्विपद प्रसार में,
`T_(16+1) = .^(50)C_(16).(2)^(50-16).(a)^(16)`
`T_(17) = (50!)/(34!16!) .(2)^(34).a^(16)`
इसी प्रकार `(2+a)^(50)` के द्विपद प्रसार में 18 वां पद
`T_(17+1) = .^(50)C_(17).(2)^(50-17).(a)^(17)`
`T_(18)=(50!)/(33!.17!) .(2)^(33).a^(17)`
प्रश्नानुसार दोनों पद समान हैं, तब
`T_(18)-T_(17)`
`(50!)/(33!.17!).(2)^(33).a^(17)=(50!)/(34!.16!).(2)^(34).a^(16)`
`(a^(17))/(a^(16))=(50!)/(34!.16!)xx(33!.17!)/(50!).((2)^(34))/((2)^(33))`
`a^(17-16) = (33!xx17xx16!)/(34xx33!xx16!)xx(2)^(34-33)`
`a=(17)/(34)xx2`
a = 1.
Discussion
55.

`(x + a)^(n)` के द्विपद प्रसार के दूसरे, तीसरे और चौथे पद क्रमश: 240, 720 और 1080 है । x, a तथा n के मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» दूसरा पद = 240 (दिया है)
`T_(2) = 240`
`.^(n)C_(1)x^(n-1).a = 240" "...(i)`
तीसरा पद, `T_(3) = 720`
`.^(n)C_(2)x^(n-2).a^(2) = 720" "...(ii)`
और चौथा पद, `T_(4) = 1080`
`.^(n)C_(3)x^(n-3).a^(3)=1080" "...(iii)`
समीकरण (ii) को (i) से भाग करने पर,
`(.^(n)C_(2)x^(n-2).a^(2))/(.^(n)C_(1)x^(n-1).a)=(720)/(240)`
`(n!)/(2!(n-2)!).(1!(n-1)!)/(n!).(a)/(x^(n-1-n+2))=(3)/(1)`
`((n-1)(n-2)!)/((n-2)!).(a)/(x) = 6`
`(a)/(x) = (6)/(n-1)" "...(iv)`
इसी प्रकार समीकरण (iii) को (ii) से भाग करने पर,
`(a)/(x) = (9)/(2(n-2))" "...(v)`
अब समीकरण (iv) तथा (v) से,
`(9)/(2(n-2))=(6)/(n-1)`
`rArr 12n - 24 = 9n - 9 rArr 3n = 15` या n = 5
n का मान समीकरण (i) में रखने पर,
`.^(5)C_(1)x^(4).a = 240`
`5ax^(4) = 240" "...(vi)`
n का मान समीकरण (iv) में रखने पर,
`(a)/(x) = (6)/(4) = (3)/(2)`
या `a=(3x)/(2)" "...(vii)`
a का मान समीकरण (vi) में रखने पर,
`5 xx (3x)/(2) (x^(4)) = 240`
या `x^(5) = (240 xx 2)/(15) = 32 = (2)^(5)` या x = 2
x का मान समीकरण (vii) में रखने पर,
`a=(3)/(2)xx2=3`
अत: x = 2, a = 3 तथा n = 5.
Discussion
56.

सभी ` n in N` के लिए, `2^(4n)-15n-1` किससे भाज्य है ?A. 123B. 225C. 450D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
दिया है, `2^(4n)-15n-1`
`(2^(4))^(n)=(16)^(n)=(15+1)^(n)=(1+15)^(n)`
`=.^(n)C_(0)1^(n)(15)^(0)+.^(n)C_(1)(1)^(n-1)(15)^(1)+.^(n)C_(2)(1)^(n-2)(15)^(2)+...` `=1+n.15+.^(n)C_(2)(15)^(2)+.^(n)C_(3)(15)^(3)+...`
`(2^(4))^(n)-(15n)-1=(15)^(2)(.^(n)C_(2)+.^(n)C_(3).15+...)`
`=225.d, AA d in N`
इस प्रकार, `(2^(4))^(n)-(15n)1,225` से भाज्य है ।
Discussion
57.

`(a + x)^(24)` के प्रसार में पदों कि संख्या होगी :A. 23B. 25C. 26D. उपर्युक्त में से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
58.

`(x + a)^(26)` के प्रसार में कुल पदों कि संख्या ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - 27
Discussion
59.

`(a+b+c)^(18)` के प्रसार में प्रसार में कुल पदों की संख्या ज्ञात कीजिए ।A. 170B. 180C. 175D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - D
`(a+b+c)^(18)` के प्रसार में पदों की कुल संख्या `=.^(18+3-1)C_(3-1)`
`=.^(20)C_(2)=(20xx19)/(2)=190`
Discussion
60.

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखत के मान ज्ञात कीजिए : `(101)^(4)`

Answer» Correct Answer - `104060401`
Discussion
61.

` 99^ ( 50 ) + 100^ ( 50 ) ` तथा `101^ ( 50 ) ` में बड़ा है -A. ` 101^ ( 50 ) `B. `99^ ( 50 ) + 100^( 50) `C. दोनों बराबर हैD. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
62.

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का प्रसार कीजिए - (i) `(x+3)^(5)`, (ii) `(x - (1)/(2x))^(5)`

Answer» (i) `(x + 3)^(5)`
`= x^(5)+.^(5)C_(1)x^(4).3+.^(5)C_(2)x^(3).3^(2)+.^(5)C_(3)x^(2).3^(3)+.^(5)C_(4)x.3^(4)+.^(5)C_(5).3^(5)`
`=x^(5)+15x^(4)+90x^(3)+270x^(2)+405x + 243`.
(ii) `(x - (1)/(2x))^(5)`
`=[x+(-(1)/(2x))]^(5)`
`=x^(5)+.^(5)C_(1).x^(4)(-(1)/(2x))+.^(5)C_(2)x^(3)(-(1)/(2x))^(2)+.^(5)C_(3)x^(2)(-(1)/(2x))^(3)+.^(5)C_(4)x(-(1)/(2x))^(4)+.^(5)C_(5)(-(1)/(2x))^(5)`
`= x^(5)-(5x^(3))/(2)+(5x)/(2)-(5)/(4x)+(5)/(16x^(3))-(1)/(32x^(5))`.
Discussion
63.

निम्नलिखित व्यंजको के प्रसार (Expansion) लिखो - (A) `(2x + 3y)^(4)` (B) `(ax - (b)/(x))^(6)` (C) `(x + y)^(8)` (D) `(3x + 2y)^(4)` (E) `((2)/(3)x - (3)/(2x))^(6)`

Answer» (A) `16x^(4)+96x^(3)y + 216x^(2)y^(2) + 216xy^(3) + 81y^(4)`
(B) `a^(6)x^(6) - 6a^(5)x^(4)b + 15a^(4)x^(2)b^(2) - 20 a^(3)b^(3) + 15 (a^(4)b^(4))/(x^(2))-6(ab^(5))/(x^(4))+(b^(6))/(x^(6))`
(C) `x^(8)+8x^(7)y+28x^(6)y^(7)+56x^(5)y^(3) + 70x^(4)y^(4)+56x^(3)y^(5)+28x^(2)y^(6)+8xy^(7)+y^(8)`
(D) `81x^(4) + 216x^(3)y+216x^(2)y^(2)+96xy^(3) + 16y^(4)`
(E) `(64)/(729)x^(6) - (32x^(4))/(27)+(20x^(2))/(3)-20+(135)/(4x^(2))-(243)/(8x^(2))+(729)/(64x^(6))`
Discussion
64.

`(2 - 3x)^(7)` के प्रसार में महत्तम पद तथा उसका संख्यात्मक मान ज्ञात कीजिए, जबकि x = 2.

Answer» छठा तथा सातवां पद, `14 xx 6^(6)`
Discussion
65.

निम्न का मान ज्ञात कीजिए - (i) ` ( x + y ) ^ 6 + ( x- y ) ^6 ` (ii) ` ( sqrt 2 + 1 ) ^ 5 + ( sqrt2 - 1 ) ^ 5` (iii) ` (sqrt3 + 1 ) ^7 - ( sqrt3 - 1 ) ^ 7 ` (iv) ` (1001)^ 5 ` (v) ` (101) ^ 5 ` (vi) ` (994) ^ 4 `

Answer» ( i) ` 2 ( x ^ 6 + 15 x^ 4 y ^2 + 15 x ^ 2 y^ 4 + y^ 6 ) ` (ii) ` 58 sqrt 2 ` (iii) ` 1136 ` (iv) ` 1005010010005001`, (v) ` 10510100501 ` (vi) `976215137296 `
Discussion
66.

(i) सिद्ध कीजिये कि ` (sqrt2 + 1 ) ^ 6 + ( sqrt2 - 1) ^ 6 = 198 ` तथा सिद्ध कीजिये कि ` (sqrt2 + 1 ) ^ 6 ` का पूर्णांक भाग 197 है | (ii) ` [x + sqrt (( x ^ 2 - 1 ) ) ]^ 6 + [ x - sqrt (( x^ 2 - 1 )) ] ^ 6 ` का मान ज्ञात कीजिए | (iii) सिद्ध कीजिए कि ` sqrt (10) { ( sqrt (10 ) + 1 )^(100 ) - ( sqrt (10) - 1 ) ^(100)} ` एक सम्पूर्ण संख्या है | (iv) ` 99^(50) + 100^(50)` तथा ` 101^(50)` में कौन बड़ा है ?

Answer» (i) ` ( x + 1 ) ^ n + ( x - a )^n = 2 ( x ^ n + ""^ n C _ 2 x ^ ( n - 2 ) * a ^ 2 + ""^ n C _ 4 x ^ ( n - 4 ) * a ^ 4 + ""^ n C _ 6 x ^ ( n - 6 ) * a ^ ( 6 ) + ... ) `
यहाँ ` n = 6, ""^ 6 C _ 2 = 15, ""^ 6 C _ 4 = 15, ""^ 6 C _ 6 = 1 , x = sqrt 2 , a = 1 `
` therefore ( sqrt 2 + 1 ) ^ 6 + ( sqrt 2 - 1 ) ^ 6 = 2 { [ sqrt 2 ] ^ 6 + 15 [ sqrt 2 ] ^ 4 * 1 + 15 [ sqrt 2 ] ^ 2 * 1 + 1 * 1 } `
` = 2 [ 8 + 15 xx 4 + 15 xx 2 + 1 ] `
` = 2 (99) = 198" " ` ... (i)
` rArr [sqrt 2 + 1 ] ^ 6 =198 - ( sqrt 2 - 1 ) ^ 6 `
अब ` ( sqrt 2 - 1 ) ^ 6 lt 1 `, व धनात्मक है |
` therefore 0 lt ( sqrt 2 - 1 ) ^ 6 lt 1 " " `... (ii)
समीकरण (i ) व (ii ) से,
` ( sqrt 2 + 1 ) ^ 6 = 198 - ` ( एक से छोटी एक धनात्मक संख्या )
` therefore (sqrt 2 + 1 ) ^ 6 ` का पूर्णाक भाग = 197
(ii) उपरोक्तानुसार , ` a = sqrt ( x ^ 2 - 1 ) `
इसलिए , ` [ ( x + sqrt ( x ^ 2 - 1 ) ) ] ^ 6 + [ ( x - sqrt ( x ^ 2 - 1 ) ) ] ^ 6 `
` = 2 [ x ^ 6 + 15 x ^ 4 ( sqrt ( ( x ^ 2 - 1 )) ) ^ 2 + 15 x ^ 2 ( sqrt (( x ^ 2 - 1 )) ) ^ 4 + (sqrt ( ( x ^ 2 - 1 )) ) ^ 6 ] `
` = 2 [ x ^ 6 + 15 x ^ 4 ( x ^ 2 - 1 ) + 15 x ^ 2 ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 + ( x ^ 2 - 1 ) ^ 3 ] `
` = 2 [ x ^ 6 + 15 ( x ^ 6 - x ^ 4 ) + 15 ( x ^6 - 2 x ^ 4 + x ^ 2 ) + ( x ^ 6 - 3x ^ 4 + 3x ^ 2 - 1 ) ] `
` = 64 x ^ 6 - 96 x ^ 4 + 36 x ^ 2- 2 `
(iii) ` x [ ( x + 1 ) ^ n - ( x - 1 ) ^n] = x * 2 [ C _ 1 x ^ ( n - 1 ) + C _ 3 x ^ (n - 3 ) + C _ 5 x ^ ( n - 5 ) + ... ] `
` = 2 [ C _ 1 x ^ ( n ) + C _ 3 x ^ (n - 2 ) + C _ 5 x ^ ( n - 4 ) + ...] `
अब ` n = 1 00, n - 2 , n - 4 , ... ` सभी सम संख्याएं है |
` x = sqrt (10 ) `
` therefore x ^ n , x ^ ( n - 2 ) , x ^ ( n - 4 ) ` सभी पूर्णांक है तथा ` C _ 1, C _ 3, C _ 5 ... ` भी पूर्णांक है | इसलिए दिया गया व्यंजक एक पूर्ण संख्या है |
(iv) ` ( 101 ) ^( 50 ) = ( 100 + 1 ) ^ ( 50 ) `
` = 100^( 50 ) + 50 * 100 ^( 49 ) + ( 5 0 * 49 ) /( 1 *2 ) * 100 ^ ( 48 ) + ... " " `... (i)
तथा ` (99 ) ^ ( 50 ) = ( 100 - 1 ) ^( 50 ) `
` = 100 ^( 50 ) - 50 * 100^( 49 ) + ( 50 * 49 ) /( 1 * 2 ) * 100^ ( 48 ) - ... " " ` ...(ii)
समीकरण (i ) व (ii ) से,
` ( 101 ) ^( 50 ) - (99) ^( 50 ) = 2 [ 5 0 * 100^( 49 ) + ( 50 * 49 * 48 ) /( 1 * 2 * 3 ) * 100^( 47 ) + ... ] `
` = 100^(50 ) + 2 ( 50 * 49 * 48 )/( 1 * 2 * 3 ) * 100^( 47 ) + ... `
` gt 100 ^( 50 ) `
इसलिए ` 101 ^ ( 50 ) gt 99^ ( 50 ) + 1 00^(50) `
Discussion
67.

यदि ` S _ n = 1 + q + q ^ 2 + .... + q ^n ` ` S _ n = 1 + ( q + 1 ) / ( 2 ) + ( (q + 1 ) /( 2 ))^ 2 + ... + ( ( q + 1 )/( 2 ))^n , q ne 1 ` तब सिद्ध कीजिए कि - ` ""^ ( n + 1 ) C _ 1 + ""^ (n + 1 ) C _ 2 S _ 1 + ""^ (n + 1 ) C _ 3 S _ 2 + ... + ""^ (n + 1 ) C _ ( n + 1 ) S _ (n ) = 2^n S _ n `

Answer» स्पष्टतः ` S _ n = ( 1 - q ^ ( n + 1 ) )/( 1 - q ) " "`...(i)
तथा ` S_ n = (1 - ( ( q + 1 ) /( 2 )) ^ ( n + 1 ) ) /( 1 - (q + 1 ) / ( 2 ) ) = ( 2 ^ (n + 1 ) - ( q + 1 ) ^ ( n + 1 ) ) /( 2 ^n ( 1 - q )) " "`...(ii)
इसलिए ` ""^ ( n + 1 ) C _ 1 + ""^ ( n +1 ) C _ 2 * S _ 1 + ""^ (n + 1 ) C _ 3 S _ 2 + ... + ""^ ( n + 1 ) C _ (n + 1 ) S _ n `
` = ( 1 ) /( 1 - q ) [""^ ( n + 1 ) C _ 1 ( 1 - q ) + ""^ ( n + 1 ) C _ 2 ( 1 - q ^2 ) + ""^ ( n +1) C _ 3 ( 1 - q ^ 3 ) + ... + ""^ ( n + 1 ) C _ (n + 1 ) ( 1 - q^( n + 1 )] `
` = ( 1 ) / ( 1 - q ) [ ""^ (n + 1 ) C _ 1 + ""^ ( n + 1 ) C _ 2 + ... + ""^ (n + 1 ) C _ ( n + 1 ) ] - [ ""^ ( n + 1 ) C _ 1 * q + ""^ ( n + 1 ) C _ 2 * q ^ 2 + ... + ""^ ( n + 1 ) C _ ( n + 1 ) * q^ ( n + 1 ) ] `
` = ( 1 ) /( 1- q ) [ ( 2 ^ ( n + 1 ) - 1 ) - { ( 1 + q ) ^ ( n + 1 ) - 1 } ] = ( 2 ^ ( n + 1) - ( 1 + q ) ^ (n + 1 ) ) / ( ( 1 _ q )) `
` = 2 ^ n S _ n " " ` (समीकरण (ii ) से )
Discussion
68.

`(1+x)^(n)` के प्रसार में सम द्विपद गुणांकों का योग क्या है ?A. `2^(n)`B. `2^(n-1)`C. `2^(n+1)`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
हम जानते हैं कि,
`(1+x)^(n)=.^(n)C_(0)+.^(n)C_(1)x+.^(n)C_(2)x^(2)+.^(n)C_(3)x^(3)+.^(n)C_(4)x^(4)+...+.^(n)C_(n)x^(n)`
तथा `(1-x)^(n)=.^(n)C_(0)-.^(n)C_(1)x+.^(n)C_(2)x^(2)-.^(n)C_(3)x^(3)+.^(n)C_(4)x^(4)-...+(-1)^(n)C_(n)x^(n)`
`:. (1+x)^(n)+(1-x)^(n)=2.^(n)C_(0)+2.^(n)C_(2)x^(2)+2.^(n)C_(4)x^(4)+...`
x=1 रखने पर,
`(1+1)^(n)+(1-1)^(n)=2(.^(n)C_(0)+.^(n)C_(2)+.^(n)C_(4)+...)`
`rArr .^(n)C_(0)+.^(n)C_(2)+.^(n)C_(4)+.... = 1/2 (2^(n)+0)`
`rArr .^(n)C_(0)+.^(n)C_(2)+.^(n)C_(4)+...=2^(n-1)`
Discussion
69.

`((xsqrt(y))/(3)-(3)/(ysqrt(x)))^(12)` के प्रसार में मध्य पद क्या है ?A. `C(12,7)x^(3)y^(-3)`B. `C(12,6)x^(-3)y^(3)`C. `C(12,7)x^(-3)y^(3)`D. `C(12, 6)x^(3)y^(-3)`

Answer» Correct Answer - D
चूँकि `((xsqrt(y))/(3)-(3)/(ysqrt(x)))^(12)` के विस्तार में `((12)/(2)+1)` वाँ पद अर्थात 7 वाँ पद मध्य -पद होगा ।
`:. T_(7)=T_(6+1)=.^(12)C_(6)((xsqrt(y))/(3))^(6)(-(3)/(ysqrt(x)))^(6)=.^(12)C_(6)(x^(6)y^(3))/(y^(6)x^(3))`
`=.^(12)C_(6)x^(3)y^(-3)=C(12,6)x^(3)y^(-3)`
Discussion
70.

सिद्ध कीजिए कि - (i) ` C _ 0 + ( C _ 1 ) /( 2 ) + ( C_2 ) /( 3 ) + ... + ( C _ n ) / ( n + 1 ) = ( 2^ ( n + 1 ) - 1 ) /( n + 1 ) ` (ii) ` C _ 0 - ( C _ 1 ) /( 2 ) + ( C _ 2 )/( 3 ) - ( C _ 3 ) /( 4 ) + ... + ( - 1 ) ^n ( C_ n ) /( n + 1) = ( 1 ) /( n + 1 ) `

Answer» (i) ` C _ 0 + ( C _ 1 ) /( 2 ) + ( C _ 2 ) /( 3 ) + ... + ( C _ n ) /( n + 1 ) `
` = sum _ ( r = 0 ) ^ n ( ""^ n C _ r ) /( r+ 1 ) = sum _ ( r = 0 ) ^ n ( 1 ) /( r + 1 ) ""^ n C _ r = sum _ ( n ) C _ r = sum _ ( r = 0 ) ^ n ( 1 ) /( n+ 1 ) * ( n + 1 ) / ( r + 1 ) ""^n C _ r = ( 1 ) /( n + 1 ) sum _ ( r = 0 ) ^n ( n + 1 ) /( r + 1 ) ""^ nC _ r `
` = ( 1 ) /( n + 1 ) sum _ ( r =0 ) ^ n ""^ ( n + 1 ) C _ ( r + 1 ) " " (because ""^ ( n + 1 ) C _ ( r + 1 ) = ( n + 1) /( r + 1 ) ""^ n C_ r ) `
` = ( 1 ) /( n +1 ) [ ""^ (n + 1 ) C _ 1 + ""^ ( n + 1 ) C_ 2 + ""^ C _ 3 + ... + ""^ ( n + 1 ) C _ (n + 1 ) ] `
` = ( 1 ) /( n + 1 ) [ ( ""^ ( n +1 ) C _ 0 + ""^ ( n + 1) C _ ( n +1 ) ) - ( ""^ ( n + 1 ) C _ 0 ) ] = ( 1) /( ( n + 1 ) ) [ 2 ^( n + 1 ) - 1 ] `
(ii) ` C _ 0 - ( C _ 1 ) /( 2 ) + ( C _ 2 ) /( 3 ) - ( C _ 3 ) /( 4 ) + ... + ( -1 ) ^n ( C _ n ) /( n + 1 ) `
` = sum _ ( r = 0) ^n ( -1 ) ^ r ( ""^ n C _ r ) /( r + 1 ) = sum_ ( r = 0 ) ^ n ( ( - 1 ) ^ r ) /( r + 1 ) * ""^nC _ r = sum _ ( r = 0 ) ^n (( -1 ) ^ r ) /( n + 1 ) xx (( n + 1))/( ( r + 1)) ""^ C _ r `
` = ( 1 ) /( n + 1 ) sum _ ( r = 0 ) ^ (n ) ( - 1 ) ^ r ""^ (n + 1 ) C_ ( r + 1 ) " " ( because ""^ (n + 1 ) C _ ( r + 1 ) = ( n + 1 ) /( r + 1 ) ""^nC_ r ) `
` = ( 1 ) / (n + 1 ) [ ""^ (n + 1 ) C _ 1 - ""^ ( n + 1 ) C _ 2 + ""^ ( n + 1 ) C _ 3 - ""^ ( n + 1 ) C _ 4 + ... + ( - 1 ) ^ n ""^ (n + 1) C _ ( n + 1 ) ] `
` = - ( 1 ) /( (n + 1 )) [ - ""^ ( n + 1 ) C _ 1 + ""^ (n+ 1) C _ 2 - ""^ ( n + 1 ) C _ 4 - ... + ( - 1 ) ^ ( n + 1 ) ""^ (n + 1 ) C _ (n + 1 ) ] `
` = - ( 1 ) /((n + 1 ) ) [ ( ""^ ( n + 1 ) C _ 0 - ""^ ( n+ 1 ) C _ 1 + ""^ ( n + 1 ) C _2 - ""^ ( n + 1 ) C _ 3 + ... + ( - 1 ) ^( n + 1 ) ""^ ( n + 1 ) C _ ( n + 1 ) ) - ""^ ( n + 0)C_ 0 ] `
` = - (1 ) /( n + 1 ) [ 0 - ""^ (n + 1) C _ 0 ] = ( 1 ) /( n + 1 ) `
Discussion
71.

`(x^(2) + (1)/(x))^(11)` के प्रसार में `x^(7)` का गुणांक होगा :A. 80B. 480C. 462D. 95

Answer» Correct Answer - C
Discussion
72.

`((x)/(2) - (3)/(x^(2)))^(10)` के प्रसार में `x^(4)` का गुणांक होगा -A. `(405)/(256)`B. `(504)/(259)`C. `(450)/(263)`D. उपर्युक्त में से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
73.

`(1)/((1-x)(3-x))`के प्रसार में `x^(n)` का गुणांक होगाA. `(3^(n+1)-1)/(2.3^(n+1))`B. `(3^(n+1)-2)/(3^(n+1))`C. `(3^(n+1)-2)/(3^(n+1))`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
`(1)/((1-x)(3-x))=(1)/(2)((1)/(1-x)-(1)/(3-x))`
`=(1)/(2)[(1-x)^(-1)-(3-x)^(-1)]`
`=1/2 [(1-x)^(-1)-1/3(1-(x)/(3))^(-1)]`
`=1/2[(1+x+x^(2)+x^(3)+...)-1/3(1+x/3+(x/3)^(2)+(x/3)^(3)+...)]`
अतः `x^(n)` का गुणांक
`=1/2[1(1)/(3).(1)/(3^(n))]=(1)/(2)((3^(n+1)-1))/(3^(n+1))`
Discussion
74.

`(1)/((1-x)(3-x))`के प्रसार में यदि n का मान 2 है, तो `x^(n)` के गुणांक का मान होगाA. `(13)/(27)`B. `(13)/(29)`C. `(15)/(22)`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
यदि n=2
तब, `1/2((3^(n+1)-1))/(3^(n+1))=1/2((3^(2+1)-1))/(3^(2+1))`
`=1/2((3^(3)-1))/(3^(3))=1/2.(26)/(27)=(13)/(27)`
Discussion
75.

निम्नलिखित के प्रसार में मध्य पद ज्ञात करो - (A) `(3x-(1)/(2x))^(16)` (B) `(x^(3)-(1)/(x^(3)))^(10)` (C) `(3-(x^(3))/(6))^(7)` (D) `((x)/(a) + (a)/(x))^(10)` (E) `((x)/(3)+9y)^(10)` (F) `(x-(1)/(x))^(10)`

Answer» (A) `(12870 xx 3^(8))/(2^(8))`
(B) -252
(C) `(-105)/(8)x^(9),(35)/(48)x^(12)`
(D) 252
(E) `61236 x^(5)y^(5)`
(F) -252
Discussion
76.

`(x^(2) + (2)/(x))^(5)` के प्रसार में x का गुणांक पद ज्ञात कीजिए ।

Answer» `(x^(2)+(2)/(x))^^(5)`
व्यापक पद `= T_(r+1) = .^(n)C_(r)a^(r).x^(n-r)`
यहाँ `x = x^(2), a = (2)/(x), n = 5`
`T_(r+1) = .^(5)C_(r)((2)/(x))^(r).(x^(2))^(5-r)`
`=.^(5)C_(r)2^(r).x^(-r).x^(10 - 2r)`
`=.^(5)C_(r)2^(r).x^(10-3r)`
x के गुणांक के लिए, 10 - 3r = 1
3r = 9 या r = 3
`T_(3+1) = .^(5)C_(3).2^(3)x`
x का गुणांक `= .^(5)C_(3).2^(3)`
`= (5!)/(3!2!) .2^(3) = (5.4(3)!)/(3!2!) . 2^(3)`
`= 20 xx 4 = 80`.
Discussion
77.

`((1-x)/(1+x))^(2)` के प्रसार में `x^(4)` का गुणांक क्या है ?A. -16B. 16C. 8D. -8

Answer» Correct Answer - B
`((1-x)/(1+x))^(2)=(1-x)^(2)(1+x)^(-2)`
`=(1-2x+x^(2))(1+x)^(-2)`
`=(1-2x+x^(2))(1-2x+3x^(2)-4x^(3)+5x^(4)-...)`
`:. ((1-x)/(1+x))^(2)` में `x^(4)` का गुणांक
`=5+8+3=16`
Discussion
78.

`(1+2x+3x^(2)+4x^(3)+...)^(1//2)` के प्रसार में `x^(4)` का गुणांक क्या है ?A. `1//4`B. `1//16`C. 1D. `1//28`

Answer» Correct Answer - C
`(1+2x+3x^(2)+4x^(3)+...)^(1//2)`
`=[(1-x)^(-2)]^(1//2)=(1-x)^(-1)`
`=1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+...`
अतः `x^(4)` अभीष्ट गुणांक 1 है ।
Discussion
79.

`({:(30),(0):})({:(30),(10):})-({:(30),(1):})({:(30),(11):}) + ... + ({:(30),(20):})({:(30),(30):}) ` बराबर है -A. ` ""^ ( 30 ) C_ 11 `B. ` ""^ ( 60 ) C _ ( 10) `C. `""^ ( 30 ) C _ ( 10) `D. `""^ ( 65 ) C _ (55 ) `

Answer» Correct Answer - C
Discussion
80.

` 1 + ( 2 ) /( 4 ) + ( 2* 5 ) / ( 4 * 8 ) + ( 2* 5 * 8 ) /( 4* 8 * 12 ) + ( 2* 5 * 8 * 11 ) /( 4 * 8 * 12 * 16 ) + ... ` बराबर है -A. ` 3sqrt 4 `B. ` 3 sqrt6 `C. `4 ^ ( - 2//3 ) `D. `4 ^ ( 3//2 ) `

Answer» Correct Answer - B
Discussion
81.

निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए `I. Sigma_(r=0)^(n) (r+1) ""^(n)C_(r)x^(r)=(1+x)^(n)=nx(1+x)^(n-1)` `II. (1+x)^(41)(1-x+x^(2))^(40)` के प्रसार में 85 का गुणांक शून्य है । उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं ?A. केवल `I `B. केवल `II `C. `I` और `II` दोनोंD. न तो `I` और न ही `II`

Answer» Correct Answer - C
`overset(n) underset(r=0)Sigma(rpm1).^(n)C_(r)x^(r)`
`overset(n)underset(r=0)Sigma r^(n).^(n)C_(r)x^(r)+ overset(n)underset(r=0)Sigma.^(n)C_(r)x^(r)`
`=nx overset(n) underset(r=0)Sigma .^(n-1)C_(r-1)x^(r-1)+ overset(n)underset(r=0)Sigma .^(n)C_(r)x^(r)`
`=nx(1+x)^(n-1)+(1+x)^(n)`
कथन `I` सही है ।
`(1+x)^(41)(1-x+x^(2))^(40)`
`=(1+x)(1+x)^(40)(1-x+x^(20))^(40)`
`=(1+x)(1+x^(3))^(40)`
`=(1+x^(3))^(40)+x(1+x^(3))^(40)`
`=(1+.^(40)C_(1)x^(3)+.^(40)C_(3)x^(6)+...+.^(40)C_(40)x^(120))+(.^(40)C_(0)+.^(40)C_(1)x^(4)+.^(40)C_(2)x^(7)+...+.^(40)C_(40)x^(121))`
चूँकि प्रसार में `x^(85)` नहीं है । अतः `x^(85)` का गुणांक शून्य होगा ।
कथन `II` भी सही है ।
Discussion
82.

निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए `I. .^(10)C_(0)+(.^(10)C_(0)+.^(10)C_(1))+(.^(10)C_(0)+.^(10)C_(1)+.^(10)C_(2))+...+(.^(10)C_(0)+.^(10)C_(1)+.^(10)C_(2)+...+.^(10)C_(9))` का मान`10.2^(9)` है । `II .^(n)C_(1)+2^(n)C_(2)+3^(n)C_(3)+...+.^(n)C_(n)=n.2^(n-1)` उपरोक्त कथनों में से कौन-सा /से कथन सही है/हैं ?A. केवल `I `B. केवल `II `C. `I` और `II` दोनोंD. न तो `I` और न ही `II`

Answer» Correct Answer - C
`.^(10)C_(0)+(.^(10)C_(0)+.^(10)C_(1))+(.^(10)C_(0)+.^(10)C_(1)+.^(10)C_(2))+...+(.^(10)C_(0)+.^(10)C_(1)+.^(10)C_(2)+...+.^(10)C_(9))`
`=10.^(10)C_(0)+9. ^(10)C_(1)+8.^(10)C_(2)+...+.^(10)C_(9)`
`=.^(10)C_(1)+2.^(10)C_(2)+3.^(10)C_(3)+...+10 .^(10)C_(10)`
`=overset(10)underset(r=1)Sigma .^(9)C_(r-1)=10xx2^(9)`
अतः कथन I तथा II दोनों सही हैं ।
Discussion
83.

`C_(0)C_(r)+C_(1)C_(r+1)+C_(2)C_(r+2)+... +C_(n-r)C_(n)` बराबर हैA. `(2n!)/((2n-r)!(n+r)!)`B. `(n!)/((n-r)!(n+r)!)`C. `(n!)/((n-r)!)`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
हम जानते हैं की ,
`(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(r)x^(r)+... +C_(n)x^(n)`
यहाँ x के स्थान पर `1//x` रखने पर,
`(1+1/x)^(n)=C_(0)+(C_(1))/(x)+(C_(2))/(x^(2))+...+(C_(r))/(x^(r))+....+(C_(n))/(x^(n))`
दोनों, प्रसारों की गुणा करने पर,
`(C_(0)+(C_(1))/(x)+(C_(2))/(x^(2))+...+(C_(r))/(x^(r))+...+(C_(n))/(x^(n)))xx(C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(r)x^(r)+...+C_(n)x^(n))`
`=(1+(1)/(x))^(n)=(1)/(x^(n))(1+x)^(2n)...(i)`
समी (i) के दोनों पक्षों में `x^(r)` के गुणांक बराबर रखने पर,
`C_(0)C_(r)+C_(1)C_(r+1)+C_(2)C_(r+2)+...+C_(n-r)C_(n)`
`=(1)/(x^(n))(1+x)^(2n)` के विस्तार में `x^(r)` का गुणांक
`=(1+x)^(2n)` के विस्तार में `x^(n+r)` का गुणांक
`=.^(2n)C_(n+r)=((2n)!)/((n+r)!(n-r)!)`
Discussion
84.

`(1.01)^(1000000)` और 10,000 में कौन-सी संख्या बड़ी है ?

Answer» 1.01 को दो पदों में व्यक्त करके द्विपद प्रमेय के पहले कुछ पदों कि लिखकर देखते है कि -
`(1.01)^(1000000) = (1 + 0.01)^(1000000)`
`=.^(1000000)C_(0) + .^(1000000)C_(1) (0.01)` + अन्य पद
`= 1 + 1000000 xx 0.01` अन्य पद (धनात्मक)
`= 1 + 1000`+ अन्य धनात्मक पद
`gt` 10000
अत: `(1.01)^(1000000) gt 10000`.
Discussion
85.

गुणांक ज्ञात करो - (A) `(x^(3)-(1)/(x^(3)))^(12)` के प्रसार में `x^(12)` का | (B) `(2x^(3)-(1)/(3x^(3)))^(10)` के प्रसार में `x^(5)` का | (C) `(x + 3)^(8)` के प्रसार में `x^(5)` का | (D) `(x^(3)-(1)/(x^(4)))^(10)` के विस्तार में `x^(9)` का | (E) `(x^(2)+(a)/(x))` के विस्तार में `x^(18)` का | (F) `(x-(1)/(x^(2)))^(2)` के प्रसार में `(1)/(x)` का |

Answer» (A) 495
(B) 0
(C) 1512
(D) -120
(E) `1365a^(4)`
(F) -2
Discussion
86.

निम्न श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिये - ` 1 - ( 1 ) /( 8 ) + (1 )/( 8 ) * ( 3 ) /( 16 ) - ( 1 * 3* 5 ) /( 8 *16* 24 ) + ... `

Answer» `because " " ( 1 + x ) ^n = 1 + n x + ( n ( n - 1 ) )/( 2 ! ) x ^ 2 + ..." " `...(i)
दी गयी श्रेणी से तुलना करने पर
` nx = - ( 1 )/ ( 8 ) " " `...(ii)
` (n (n -1 )) / ( 2!) x^ 2 = ( 1* 3 ) / ( 8 * 16 ) " " `...(iii)
समीकरण (iii ) को समीकरण (ii ) के वर्ग से भाग करने पर
` (n - 1 ) / (n ) = 3 rArr n = - ( 1 ) /( 2 ) `
n का मान समीकरण (ii ) में रखने पर
` x = ( 1 ) /( 4) `
` therefore ` दी गयी श्रेणी का योग = ` ( 1 + ( 1 ) /( 4 ) ) ^( -1// 2) = ((5 ) /(4)) ^( - 1//2 ) `
` = ((4)/(5))^(1//2) = (2)/(sqrt5) `
Discussion
87.

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्न का विस्तार कीजिए - (i) ` ( ( 2x ) /( 3 ) - ( 3 )/( 2x))^ 6 ` (ii) ` ( 2x - (3 ) /( y ) ) ^ 5 ` (iii) ` ( 1 - x + x ^ 2 ) ^ 4 ` (iv) ` ( 1 + x + x ^ 2 ) ^ 3 ` (v) ` (sqrtx + sqrty ) ^( 10 ) ` (vi ) ` (3sqrt x- 3 sqrt y ) ^ 6 `

Answer» (i) ` ( 64 x ^ 6 ) /( 729 ) - ( 32 x ^ 4 ) /( 27 ) + ( 20 x ^ 2) /( 3 ) - 20 + ( 135 ) /( 4 x ^ 2 ) - ( 243 ) /( 8 x ^ 4 ) + ( 729 ) /( 64 x ^ 6 ) `, (ii) ` 32x ^5 - ( 240 x^ 4 ) /( y ) + ( 720 x^ 3 )/( y^ 2 ) - (1080 x^ 2) /( y ^ 3 ) + ( 810 x ) /( y ^ 4 ) - ( 243 ) /( y ^ 5 ) `
(iii) ` 1- 4x + 10 x ^ 2 - 16 x^ 3 + 19 x ^ 4 - 16 x^ 5 + 10 x ^ 6 - 4x ^ 7 + x ^ 8 ` (iv) ` 1 + 3x + 6x ^ 2 + 7 x ^ 3 + 6 x ^ 4 + 3x ^ 5 + x ^ 6 `
(v) ` x ^ 5 + 10 x ^ ( 9//2) y ^ ( 1//2) + 45 x ^4 y + 120 x ^ ( 7//2 ) y ^ ( 3//2 ) + 210 x ^ 3 y ^ 2 + 252 x ^ (5//2) y ^ ( 5//2 ) + 210 x ^ 2 y ^ 3 + 120 x ^ ( 3//2 ) y ^ ( 7//2) + 45 x y ^ 4 + 10 x ^ ( 1//2) y^ ( 9//2) + y ^ 5 `
(vi) ` x ^ 2 - 6 x ^ ( 5//3) y ^ ( 1// 3) + 15 x ^( 4//3 ) y ^ ( 2//3) - 20 xy + 15 x^( 2//3) y ^( 4//3) - 6x ^( 1//3) y ^ ( 5//3) + y ^ 2 `
Discussion
88.

यदि n एक धन पूर्णांक है और `(1+x)^(n)=a_(0)+a_(1)x+a_(2)x^(2)+...+a_(n)x^(n)` हों, तो `a_(0)+a_(1)+a_(2)+...+a_(n)` किसके बराबर है ?A. 1B. `2^(n)`C. `2^(n-1)`D. `2^(n+1)`

Answer» Correct Answer - B
दिया है, `(1+x)^(n)=a_(0)+a_(1)x+a_(2)x^(2)+...+a_(n)x^(n)`
`x=1` रखने पर ,
`(1+1)^(n)=a_(0)+a_(1)+...+a_(n)`
`rArr a_(0)+a_(1)+a_(2)+...a_(n)=2^(n)`
Discussion
89.

`(x^(2)+(1)/(x))^(15)` के विस्तार पर विचार कीजिए । निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए `I`. दिए गए विस्तार में `x^(2)` वाले पद का अस्तित्व नहीं है । `II. ` दिए गए विस्तार में सभी पदों के गुणांकों का योगफल `2^(15)` है । उपरोक्त कथनों में से कौन-सा /से कथन सही है/हैं ?A. केवल `I `B. केवल `II `C. `I` और `II` दोनोंD. न तो `I` और न ही `II`

Answer» Correct Answer - C
`I. x^(2)` का गुणांक `rArr 30-3r=2`
`rArr r=(28)/(3), r cancel(in) N`
अतः प्रसार में `x^(2)` वाले पद का अस्तित्व नहीं है ।
अतः कथन `I` सत्य है ।
`II`. अब,
`(x^(2)+1/x)^(15)=.^(15)C_(0)(x^(2))^(15)+.^(15)C_(1)(x^(2))^(14)(1/x)+...+.^(15)C_(15)(1/x)^(15)`
दोनों पक्षों में `x=1` रखने पर,
`(1+1)^(15)=.^(15)C_(0)+.^(15)C_(0)+.^(15)C_(1)+...+.^(15)C_(15)`
`rArr 2^(15)=.^(15)C_(0)+.^(15)C_(1)+...+.^(15)C_(15)`
अतः कथन `II` सत्य है ।
Discussion
90.

`(x^(2)+(1)/(x))^(15)` के विस्तार पर विचार कीजिए । निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए `I`. दिए गए विस्तार में `x^(2)` वाले पद का अस्तित्व नहीं है । `II. ` दिए गए विस्तार में सभी पदों के गुणांकों का योगफल `2^(15)` है । उपरोक्त कथनों में से कौन-सा /से कथन सही है/हैं ?A. केवल `I `B. केवल `II `C. `I` और `II` दोनोंD. न तो `I` और न ही `II`

Answer» Correct Answer - C
`I. x^(2)` का गुणांक `rArr 30-3r=2`
`rArr r=(28)/(3), r cancel(in) N`
अतः प्रसार में `x^(2)` वाले पद का अस्तित्व नहीं है ।
अतः कथन `I` सत्य है ।
`II`. अब,
`(x^(2)+1/x)^(15)=.^(15)C_(0)(x^(2))^(15)+.^(15)C_(1)(x^(2))^(14)(1/x)+...+.^(15)C_(15)(1/x)^(15)`
दोनों पक्षों में `x=1` रखने पर,
`(1+1)^(15)=.^(15)C_(0)+.^(15)C_(0)+.^(15)C_(1)+...+.^(15)C_(15)`
`rArr 2^(15)=.^(15)C_(0)+.^(15)C_(1)+...+.^(15)C_(15)`
अतः कथन `II` सत्य है ।
Discussion
91.

`(1+2x+x^(2))^(10)` के विस्तार में कितने पद हैं ?A. 11B. 20C. 21D. 30

Answer» Correct Answer - C
दिया है, `(1+2x+x^(2))^(10)={(1+x)^(2)}^(10)`
`=(1+x)^(20)`
`:. ` कुल पद `=20+1=21`
Discussion
92.

`(2x^(2)-(1)/(x))^(12)` के प्रसार में x से स्वतन्त्र पद होगाA. 10वाँB. 9वाँC. 8वाँD. 7वाँ

Answer» Correct Answer - B
`T_(r+1)=.^(12)C_(r)(2x^(2))^(12-r)(-1)^(r)((1)/(x))^(r)`
x से स्वतन्त्र पद के लिए ,
`24-3r=0rArrr=8`
अतः 9 वाँ पद x से स्वतन्त्र है ।
Discussion
93.

`(x^(2)+(1)/(x))^(15)` के विस्तार पर विचार कीजिए । दिए गए विस्तार में स्वतन्त्र पद क्या है ?A. 2103B. 3003C. 4503D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
दिया है, `(x^(2)+1/x)^(15)`
`:.T_(r+1)=.^(15)C_(r)(x^(2))^(15-r)(1/x)^(r)`
`=.^(15)C_(r)x^(30-2r-r)=.^(15)C_(r)x^(30-3r)`
स्वतन्त्र पद के लिए, `30-3r=0rArr r=10`
अब, `r=10` रखने पर,
`T_(10+1)=.^(15)C_(10)=(15!)/(10!5!)`
`=(15xx14xx13xx12xx11xx10!)/(10!xx1xx2xx3xx4xx5)=3003`
Discussion
94.

`(x^(2)-(1)/(x))^(9)` प्रसार में से स्वतन्त्र पद का मान क्या है ?A. 9B. 18C. 48D. 84

Answer» Correct Answer - D
दिया है, `(x^(2)-(1)/(x))^(9)`
`(x+a)^(n)` का व्यापक पद,
`T_(r+1)=.^(n)C_(r)x^(n-r)a^(r)`
इसी प्रकार `T_(r+1)=.^(9)C_(r)(x^(2))^(9-r).(-(1)/(x))^(r)`
`=.^(9)C_(r)x^(18-2r).(-1)^(r)x^(-r)`
`=.^(9)C_(r)x^((18-3r)).(-1)^(r)` ... (i)
स्वतन्त्र पद के लिए, 18-3r=0 रखने पर,
`3r=18 rArr r=6`
`:. T_((6+1))=.^(9)C_(6)x^((18-18)).(-1)^(6)`
`rArr T_(7)=.^(9)C_(6).1=(9.8.7)/(3.2.1)=84`
Discussion
95.

यदि `(x^(4)+(1)/(x^(3)))^(15)` के प्रसार में r वें पद में `x^(4)` आता है , तो r का मान क्या है ?A. 4B. 8C. 9D. 10

Answer» Correct Answer - C
`(x^(4)+(1)/(x^(3)))^(15)` के प्रसार में rवाँ पद निम्न है
`T_((r-1)+1)=T_(r)=.^(15)C_(r-1)(x^(4))^(15-r+1)((1)/(x^(3)))^(r-1)`
`=.^(15)C_(r-1)x^(64-4r-3r+3)=.^(15)C_(r-1)x^(67-7r)`
चूँकि `x^(4)` इस पद में प्राप्त होता है ।
`:. 4=67-7r rArr7r=63rArrr=9`
Discussion
96.

` (( 4x ) /( 5 ) - ( 5 )/( 2x ) ) ^(9) ` के विस्तार में निम्न का मान ज्ञात कीजिये - (i) प्रारम्भ से 6 वां पद और (ii) अन्त में 4 वां

Answer» हम जानते है कि ` T _ ( r + 1 ) = ( - 1 ) ^r ""^n C _ r x ^( n - r ) a ^ r `
` therefore ((4x )/(5 ) - (5 ) /( 2x) ) ^(9) ` में ` T _ ( r + 1 ) = ( - 1 ) ^r ""^ 9C _ r ((4x )/ (5 )) ^( 9 - r ) ((5 )/( 2x )) ^ r `
(i) प्रारम्भ से 6 वां पद
` T _ 6 = T _ ( 5 + 1 ) = ( - 1 ) ^ 5 ""^ 9 C _ 5 (( 4x )/(5 ))^( 9 - 5 ) ((5 ) /( 2x ) ) ^ (5 )" " (because r = 5 ) `
` = - (9* 8 * 7 *6 ) /( 1* 2 *3*4) xx ( 4 ^ 4 x^ 4 )/(5 ^ 4 ) xx ( 5 ^ 5 ) /( 2 ^ 5 x ^ 5 ) = - (5040)/(x ) " " ( because ""^9 C _ 5 = ""^9 C_ 4 ) `
(ii) ` (x - a ) ^n ` के विस्तार में अन्त में p वां पद = प्रारम्भ से ` (n - p + 2 ) ` वां पद = ` T _ (n - p + 2 ) `
` therefore (( 4x ) / (5 ) - (5 ) /( 2x ) ) ^9 ` के विस्तार में अन्त से चौथा पद
` = T _ ( 9 - 4 + 2 ) = T _ ( 6 + 1 ) `
` = ( - 1 ) ^( 6) ""^ 9 C _ 6 ((4x ) /( 5 ) ) ^( 9 - 6 ) (( 5 ) /( 2x ) ) ^ 6 " " ( because r = 6 ) `
` = (9*8*7 ) /( 1* 2*3 ) xx ( 4 ^ 3 x ^ 3 ) /( 5 ^ 3 ) xx ( 5 ^ 6 ) /( 2 ^ 6 xx x ^ 6 ) =( 10500)/(x ^3) " " ( because ""^ 9 C _ 6 = ""^9 C _ 3 ) `
Discussion
97.

`(x + a)^(n)` के प्रसार में अन्त से r वां पद ज्ञात कीजिए ।

Answer» `because (x + a)^(n)` के प्रसार में अंत से पहला पद प्रसार का अंतिम पद होगा, अंत से दूसरा पद प्रसार का n वां पद होगा,
अंत से पहला पद = (n + 1) - (1 - 1)
`therefore` अंत से दूसरा पद = (n + 1) - (2 - 1)
अंत से तीसरा पद = (n + 1) - (3 - 1)
इसी प्रकार अंत से r वां पद = (n + 1) - (r - 1)
= (n - r + 2)वां पद
अत: प्रसार का (n - r + 2)वां पद `=.^(n)C_(n-r+2-1).x^(r-1).a^(n-r+2-1)`
`=.^(n)C_(n-r+1)x^(r-1)a^(n-r+1)`
Discussion
98.

(i) ` ( x ^ 4 - ( 4 ) /( x ^ 3 )) ^ 9 ` के प्रसार में 7 वां पद ज्ञात कीजिए | (ii) ` ( x^ 4 - ( 1 ) /(x^3))^(15) ` के प्रसार में ` x ^ ( 25 ) ` का गुणांक ज्ञात कीजिए | (iii) ` ( 3 + x )^ 6 ` के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए | (iv) ` ( 1 - x ^ 2 ) ^ ( 10 ) ` के विस्तार में ` x ^ ( 10) ` का गुणांक ज्ञात कीजिए | (v) ` ( x ^ 2 + ( 2 ) /( x ) ) ^( 5 ) ` के विस्तार में x का गुणांक ज्ञात कीजिए | (vi) ` ( ( a )/( x ) + ( x ) /( a )) ^ (10) ` के विस्तार में मध्य पद ज्ञात कीजिए | (vii) ` ( 1 - 2x ) ^ 7 ` के विस्तार में सातवाँ पद ज्ञात कीजिए | (viii) ` ( 2x ^ 4 - ( 1 ) /( 3x ^ 7 ))^ 11 ` के प्रसार में अचर पद ज्ञात कीजिए |

Answer» (i) ` (84 xx 4^ 6 ) /( x ^ 6 ) ` (ii) ` - 3003 ` (iii) ` 540 x ^ 3 ` (iv) ` - 252 ` (v) 80 (vi) 252 (vii) 448` x ^ 6 ` (viii) ` (14080)/(27) `
Discussion
99.

ज्ञात करो - (A) `(1-x)^(10)` के प्रसार में 8 वां तथा 9 वां पद | (B) `((4)/(5)x-(5)/(2x))^(9)` के प्रसार में 7 वां पद | (C) `(x-2y)^(12)` के प्रसार में 4 वां पद | (D) `(1-3x)^(10)` के प्रसार में अंत से तीसरा पद | (E) `(a - 2b)^(12)` के प्रसार में `a^(5)b^(7)` का गुणांक |

Answer» (A) `-120 x^(7), 45x^(8)`
(B) `10500x^(-3)`
(C) `-1760 x^(9)y^(3)`
(D) `295245x^(8)`
(E) -101376
Discussion
100.

m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए `(1 + x)^(m)` के प्रसार में `x^(2)` का गुणांक 6 हो ।

Answer» Correct Answer - m = 4
Discussion