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(i) सिद्ध कीजिये कि ` (sqrt2 + 1 ) ^ 6 + ( sqrt2 - 1) ^ 6 = 198 ` तथा सिद्ध कीजिये कि ` (sqrt2 + 1 ) ^ 6 ` का पूर्णांक भाग 197 है | (ii) ` [x + sqrt (( x ^ 2 - 1 ) ) ]^ 6 + [ x - sqrt (( x^ 2 - 1 )) ] ^ 6 ` का मान ज्ञात कीजिए | (iii) सिद्ध कीजिए कि ` sqrt (10) { ( sqrt (10 ) + 1 )^(100 ) - ( sqrt (10) - 1 ) ^(100)} ` एक सम्पूर्ण संख्या है | (iv) ` 99^(50) + 100^(50)` तथा ` 101^(50)` में कौन बड़ा है ? |
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Answer» (i) ` ( x + 1 ) ^ n + ( x - a )^n = 2 ( x ^ n + ""^ n C _ 2 x ^ ( n - 2 ) * a ^ 2 + ""^ n C _ 4 x ^ ( n - 4 ) * a ^ 4 + ""^ n C _ 6 x ^ ( n - 6 ) * a ^ ( 6 ) + ... ) ` यहाँ ` n = 6, ""^ 6 C _ 2 = 15, ""^ 6 C _ 4 = 15, ""^ 6 C _ 6 = 1 , x = sqrt 2 , a = 1 ` ` therefore ( sqrt 2 + 1 ) ^ 6 + ( sqrt 2 - 1 ) ^ 6 = 2 { [ sqrt 2 ] ^ 6 + 15 [ sqrt 2 ] ^ 4 * 1 + 15 [ sqrt 2 ] ^ 2 * 1 + 1 * 1 } ` ` = 2 [ 8 + 15 xx 4 + 15 xx 2 + 1 ] ` ` = 2 (99) = 198" " ` ... (i) ` rArr [sqrt 2 + 1 ] ^ 6 =198 - ( sqrt 2 - 1 ) ^ 6 ` अब ` ( sqrt 2 - 1 ) ^ 6 lt 1 `, व धनात्मक है | ` therefore 0 lt ( sqrt 2 - 1 ) ^ 6 lt 1 " " `... (ii) समीकरण (i ) व (ii ) से, ` ( sqrt 2 + 1 ) ^ 6 = 198 - ` ( एक से छोटी एक धनात्मक संख्या ) ` therefore (sqrt 2 + 1 ) ^ 6 ` का पूर्णाक भाग = 197 (ii) उपरोक्तानुसार , ` a = sqrt ( x ^ 2 - 1 ) ` इसलिए , ` [ ( x + sqrt ( x ^ 2 - 1 ) ) ] ^ 6 + [ ( x - sqrt ( x ^ 2 - 1 ) ) ] ^ 6 ` ` = 2 [ x ^ 6 + 15 x ^ 4 ( sqrt ( ( x ^ 2 - 1 )) ) ^ 2 + 15 x ^ 2 ( sqrt (( x ^ 2 - 1 )) ) ^ 4 + (sqrt ( ( x ^ 2 - 1 )) ) ^ 6 ] ` ` = 2 [ x ^ 6 + 15 x ^ 4 ( x ^ 2 - 1 ) + 15 x ^ 2 ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 + ( x ^ 2 - 1 ) ^ 3 ] ` ` = 2 [ x ^ 6 + 15 ( x ^ 6 - x ^ 4 ) + 15 ( x ^6 - 2 x ^ 4 + x ^ 2 ) + ( x ^ 6 - 3x ^ 4 + 3x ^ 2 - 1 ) ] ` ` = 64 x ^ 6 - 96 x ^ 4 + 36 x ^ 2- 2 ` (iii) ` x [ ( x + 1 ) ^ n - ( x - 1 ) ^n] = x * 2 [ C _ 1 x ^ ( n - 1 ) + C _ 3 x ^ (n - 3 ) + C _ 5 x ^ ( n - 5 ) + ... ] ` ` = 2 [ C _ 1 x ^ ( n ) + C _ 3 x ^ (n - 2 ) + C _ 5 x ^ ( n - 4 ) + ...] ` अब ` n = 1 00, n - 2 , n - 4 , ... ` सभी सम संख्याएं है | ` x = sqrt (10 ) ` ` therefore x ^ n , x ^ ( n - 2 ) , x ^ ( n - 4 ) ` सभी पूर्णांक है तथा ` C _ 1, C _ 3, C _ 5 ... ` भी पूर्णांक है | इसलिए दिया गया व्यंजक एक पूर्ण संख्या है | (iv) ` ( 101 ) ^( 50 ) = ( 100 + 1 ) ^ ( 50 ) ` ` = 100^( 50 ) + 50 * 100 ^( 49 ) + ( 5 0 * 49 ) /( 1 *2 ) * 100 ^ ( 48 ) + ... " " `... (i) तथा ` (99 ) ^ ( 50 ) = ( 100 - 1 ) ^( 50 ) ` ` = 100 ^( 50 ) - 50 * 100^( 49 ) + ( 50 * 49 ) /( 1 * 2 ) * 100^ ( 48 ) - ... " " ` ...(ii) समीकरण (i ) व (ii ) से, ` ( 101 ) ^( 50 ) - (99) ^( 50 ) = 2 [ 5 0 * 100^( 49 ) + ( 50 * 49 * 48 ) /( 1 * 2 * 3 ) * 100^( 47 ) + ... ] ` ` = 100^(50 ) + 2 ( 50 * 49 * 48 )/( 1 * 2 * 3 ) * 100^( 47 ) + ... ` ` gt 100 ^( 50 ) ` इसलिए ` 101 ^ ( 50 ) gt 99^ ( 50 ) + 1 00^(50) ` |
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