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यदि `y = ( 1 ) / ( 3 ) + ( 1 )/ ( 3) * ( 3) / ( 6) + (1 ) /(3) * ( 3 ) /( 6 ) * ( 5 ) /( 9 ) + ... oo ` तो सिद्ध कीजिये ` y^2 + 2y - 2 = 0 ` |
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Answer» दी गयी श्रेणी के दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर ` y + 1 = 1 + ( 1 ) /( 3 ) + (1) / ( 3 ) * ( 3 ) /( 6 ) + ( 1 ) /( 3) * ( 3 ) / ( 6 ) * ( 5 ) /( 9 ) + ...oo" " `...(i) ` ( 1 + x ) ^n = 1 + n x + (n (n -1 )) / ( 2 ! ) x ^ 2 + ... oo" " `...(ii) तुलना करने पर ` n x = (1 ) /( 3 ) " " `...(iii) ` (n(n-1 ))/( 2! ) x ^ 2 = ( 1 )/ ( 3 ) * ( 3 ) /( 6 ) " " `...(iv) समीकरण (iv ) को (iii ) के वर्ग से भाग करने पर ` ((n ( n -1) x ^ 2 )/( 21))/( n^ 2 x ^ 2 ) = ( ( 1 ) /( 6 ) ) /( ((1)/( 3 ))^ 2 ) ` ` (n -1 ) /(n ) = ( 3 )/ ( 1)` ` 3n = n - 1 ` ` 3n - n = - 1 ` `2n = - 1 ` `n = - ( 1 ) /( 2 ) ` n का मान समीकरण (iii ) में रखने पर ` - (1 )/( 2 ) x = (1 ) /( 3 ) ` ` x = - ( 2 ) /( 3) ` समीकरण (i ) व (ii) से, ` y + 1 = ( 1- (2 ) /( 3 ))^ ( -1//2 ) = ((1 ) /( 3))^ ( -1//2 ) = 3 ^( 1// 2 ) ` वर्ग करने पर ` y^ 2 + 1 + 2 y = 3` या ` y ^ 2 +2y - 2 = 0 ` |
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