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निम्न के विस्तारों में पदों की संख्या ज्ञात कीजिये - (i) ` (5x - 4y ) ^ 9` (ii) ` ( 1 + 3 sqrt2x ) ^9 + (1 - 3sqrt 2 x ) ^ ( 9) ` (iii) ` ( sqrtx + sqrty ) ^(10) ` (iv) ` ( 2x + 3y - 4z ) ^n ` (v) ` [ ( 3x + y ) ^(8) - ( 3x - y ) ^8 ] ` (vi) ` ( 1 + 2x + x ^ 2 ) ^( 20 ) ` |
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Answer» (i) हम जानते ही कि ` ( x + a ) ^n ` के विस्तार में ` ( n + 1 ) ` पद होते है | (ii) यदि n एक विषम संख्या है तब ` [ ( x + a ) ^n + ( x - a ) ^n ] ` के विस्तार में ` ( n + 1 ) /( 2 ) ` पद होंगे | इसलिए ` ( 1 + 3sqrt2 x ) ^9 + ( 1 - 3sqrt2 x ) ^9 ` में ` ( 9 + 1 ) /( 2 ) = ( 10) /(2 ) = 5 ` पद होंगे | (iii) यदि n एक सम संख्या है तब ` [ ( x + a ) ^n + ( x - a ) ^n ] ` के विस्तार में ` ((10)/(2) +1 ) = 6 ` पद होंगे | (iv) ` (x + y + z ) ^n ` के विस्तार में पदों की संख्या = ` ""^(n + 2 ) C _ 2 = (( n + 1 ) (n+ 2 ) ) / ( 1 *2 ) ` होते है | इसलिए ` ( 2x+ 3y - 4z ) ^n ` में कुल पदों की संख्या = ` ((n + 1 ) ( n+ 2 ))/ (2 ) ` (v) यदि n एक सम संख्या है तब ` [ (x + a ) ^n - ( x - a ) ^n ] ` के विस्तार में ` (n) /( 2 ) ` पद होंगे | इसलिए ` [ ( 3x + y ) ^8 - ( 3x - y ) ^8] ` के विस्तार में ` ( 8 ) /( 2 ) = 4 ` पद होंगे | (vi) ` ( 1 + 2x + x^ 2 ) ^(20) = [ ( 1 + x ^ 2) ]^(20) = ( 1 + x ) ^( 40 ) ` इसलिए (i ) की भांति इसमें कुल पदों की संख्या = `40 + 1 = 41 ` |
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