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(i) ` x = (1 )/ ( 5 ) ` पर ` ( 3 - 5x ) ^ ( 15 )` के प्रसार में संख्यात्मक रूप में सबसे बड़े पद का मान ज्ञात कीजिए | (ii) सिद्ध कीजिए कि ` ( 1 + x ) ^( 2n) ` के विस्तार में महत्तम पद, महत्तम गुणांक रखता है यदि ` ( n ) /( n + 1 ) le x le ( n + 1 ) / ( n ) ` |
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Answer» (i) ` ( T _ ( r + 1 )) /( T _ r ) = ( n - r + 1 ) /( r) ((5x) /( 3 )) " " [ because (3 - 5x ) ^(15 ) = 3 ^( 15 ) ( 1 - ( 5 ) /( 3) x )^( 15 ) ] ` ` rArr ( 15 - r + 1 )/( r ) (( 5 ) /( 3 ) * (1 ) /( 5 ) ) ge 1 " " (because x = ( 1 ) /( 5 )) ` ` rArr 16 - r ge 3 r rArr r le 4 ` ` therefore r = 3, 4 ` ` rArr T _ 4 ` तथा ` T _ 5 ` संख्यात्मक रूप से आपस में बराबर है तथा बाकी सभी पदों से बड़े है | अब ` T _ 4 = 3 ^( 15 ) * ""^ (15 ) C _ 3 (( 5 ) /( 3 ) * ( 1 ) /( 5 )) ^ 3 = 3 ^( 15 ) * ( 15 ! ) /( (12 ) ! 3 ! ) * ( 1 )/( 3 ^3 ) ` ` = 3 ^ ( 12 ) * ( 15 * 14 * 13 ) /( 1*2 * 3 ) = ( 455 ) 3 ^ ( 12 ) ` तथा ` T _ 5 = 3 ^( 15 ) * ""^ ( 15 ) C _ 4 (( 5 )/( 3) * ( 1 ) /( 5 )) ^( 4 ) = 3 ^(15) * ( 15! ) /( 11 ! * 4 ! ) * ( 1 ) /( 3 ^ 4 ) ` ` = 3 ^(11) xx ( 15 * 14 * 13* 12 ) / ( 1* 2 * 3 *4 ) = 3^(12 ) * 5 * 7 * 13= 455 ( 3 ) ^( 12 ) ` (ii) हम जानते ही कि ` ""^ N C _ r ` महत्तम होता है यदि ` r = ( N ) /( 2 ) ` (N, सम संख्या है ) , यहाँ `N = 2n` (सम ) ` therefore ""^ (2n ) C _ n ` महत्तम होगा क्योंकि ` r = ( N )/( 2 ) = ( 2n) /( 2 ) = n ` ` rArr T _ ( r + 1 ) ` के गुणांक का महत्तम होंगे | यह महत्तम पद होगा यदि ` ( T _ ( r + 1 )) /( T _ r ) ge 1` तथा ` ( T _ ( r + 1 )) /( T _ ( r + 2)) ge 1 ` अब ` (T _ ( r + 1 ) ) /( T _ r ) =( N - r + 1 )/( r ) * x ` ` r = n, n + 1, ` तथा ` N = 2n ` रखने पर ` ( 2n - n+ 1 ) /( n ) * x ge 1 ` तथा ` ( 2n - ( n + 1 ) + 1 ) /( n +1 ) x le 1 ` ` ( n + 1 ) /( n ) * x ge 1 ` तथा ` (n ) /( n + 1 ) * x le 1 ` ` therefore x le ( n + 1 ) / ( n ) ` तथा ` x ge ( n ) /( n + 1 ) ` ` rArr (n ) / (n + 1 ) le x le ( n + 1 ) / (n ) ` |
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