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दर्शाइये कि फलन `f(x) = |x|` एक संतत फलन है । |
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Answer» मापांक फलन कि परिभाषा से, `f(x)=|x|={{:(x",",x ge 0),(-x",",x le 0):}` स्पष्टत: dom (f) = R. माना a एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है । स्थिति I. `a lt 0` के लिए, `f(a) =-a` अब, `underset(x rarr a^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(a+h)` `= underset(h rarr 0)(lim)-(a+h)`, [`because a + h lt 0` जबकि `a lt 0` और h बहुत ही सूक्ष्म धनात्मक वास्तविक संख्या है] `= -a + underset(h rarr 0)(lim)(-h)` `=-a + 0 =-a` और `underset(x rarr a^(-))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(a-h)` `= underset(h rarr 0)(lim)-(a-h)`, [`because a - h lt 0` जबकि `a lt 0` और h बहुत ही सूक्ष्म धनात्मक वास्तविक संख्या है] `=-a + underset(h rarr 0)(lim)h` `=-a + 0 =-a` `therefore" "underset(x rarr a^(+))(lim)f(x)=underset(x rarr a^(-))(lim)f(x)=f(a)` अत: f(x) बिन्दु प्रत्येक `a lt 0` के लिए संतत है । स्थिति II. a = 0 के लिए `f(a) = f(0)=0` अब `underset(x rarr 0^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(0+h)` `= underset(h rarr 0)(lim)f(h)` `= underset(h rarr 0)(lim)h = 0` और `underset(x rarr 0^(-))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(0-h)` `= underset(h rarr 0)(lim)f(-h)` `= underset(h rarr 0)(lim)-(-h)`, [`because -h lt 0`, इसलिए `f(-h)=-(-h)`] `=underset(h rarr 0)(lim)h = 0` `therefore" "underset(x rarr 0^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0^(-))(lim)f(x)=f(0)` अत: f(x) बिन्दु x = 0 के लिए संतत है । स्थिति III. `a gt 0` के लिए, `f(a)=a` अब `underset(x rarr a^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr 0)(lim)f(a+h)` `= underset(h rarr 0)(lim)(a+h)`, [`because a + h gt 0`, इसलिए `f(x) =x`] `= a + 0` = a और `underset(x rarr a^(-))(lim)=underset(h rarr 0)(lim)f(a-h)` `= underset(h rarr 0)(lim)(a-h)` [`because a-h lt 0` जबकि `a gt 0` और h बहुत ही सूक्ष्म धनात्मक वास्तविक संख्या है] `= a-0=a` `therefore" "underset(x rarr a^(+))(lim)f(x)=underset(h rarr a^(-))(lim)f(x)=f(a)` अत: f(x) प्रत्येक `a gt 0` के लिए संतत है । अत: `f(x)=|x|` संतत है । |
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