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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

251.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए - `|(1,a,bc),(1,b,ca),(1,c,ab)|=|(1,a,a^2),(1,b,b^2),(1,c,c^2)|`

Answer» [ संक्रिया `R_1toaR_(1),R_2tobR_(2)` और `R_(3)tocR_(3)` तथा abc उभयनिष्ट लेने पर ]
Discussion
252.

यदि `A=[(3,1),(-1,2)]` है तो दर्शाइए कि `A^(2)-5A+7I=O` है तथा इसकी सहायता से `A^(-1)` ज्ञात कीजिए।

Answer» `A=[(3,1),(-1,2)]`
`A^(2)=A.A=[(3,1),(-1,2)][(3,1),(-1,2)]`
`[(9-1,3+2),(-3-2,-1+4)]=[(8,5),(-5,3)]`
अब L.H.S `=A^(2)-5A+7I`
`=[(8,5),(-5,3)]-5[(3,1),(-1,2)]+7[(1,0),(0,1)]`
`=[(8,5),(-5,3)]+[(-15,-5),(5,-10)]+[(7,0),(0,7)]`
`=[(0,0),(0,0)]=0=` R.H.S
पुन: `|A|=|(3,1),(-1,2)|=6-(-1)=7!=0`
`:.A^(-1)` का अस्‍त‌ित्‍व है।
हम सिद्ध कर चुके कि `A^(2)-5A+7I=0`
`impliesA^(-1)(A^(2)-5A+7I)=A^(-1)0`
`impliesA-5I+7A^(-1)=0`
`implies7A^(-1)=5I-A=5[(1,0),(0,1)]-[(3,1),(-1,2)]`
`implies7A^(-1)=[(5,0),(0,5)]-[(3,1),(1,2)]=[(2,-1),(1,3)]`
`impliesA^(-1)=1/7[(2,-1),(1,3)]`
Discussion
253.

साबित करे कि `|{:(a^(2),bc,c^(2)+ac),(a^(2)+ab,b^(2),ac),(ab,b^(2)+bc,c^(2)):}|=4a^(2)b^(2)c^(2)`

Answer» `Delta=|{:(a^(2),bc,c^(2)+ac),(a^(2)+ab,b^(2),ac),(ab,b^(2)+bc,c^(2)):}|=(abc)|{:(a,c,c+a),(a+b,b,a),(b,b+c,c):}|" "[C_(1),C_(2)" तथा "C_(3)" से क्रमशः a,b,c common लेने पर"]`
`=(abc)|{:(a,c,c+a),(0,-2c,-2c),(b,b+c,c):}|" "[R_(2)toR_(2)-(R_(1)+R_(3))]`
`=(abc)*|{:(a,-a,c+a),(0,0,-2c),(b,b,c):}|" "[C_(2)toC_(2)-C_(3)]`
`=(abc)(2c)*|{:(a,-a),(b,b):}|" "[R_(2)" के अनुदिश विस्तार करने पर"]`
`=2abc^(2)*(ab+ab)=2abc^(2)(2ab)=4a^(2)b^(2)c^(2)`.
Discussion
254.

साबित करे कि `|{:(b^(2)+c^(2),a^(2),a^(2)),(b^(2),c^(2)+a^(2),b^(2)),(c^(2),c^(2),a^(2)+b^(2)):}|=4a^(2)b^(2)c^(2)`

Answer» `R_(1)toR_(1)-R_(2)-R_(3)` तथा `R_(2)toc^(2)R_(2)-b^(2)R_(3)` का प्रयोग करें
Discussion
255.

साबित करे कि `|{:(a,b,ax+by),(b,c,bx+cy),(ax+by,bx+cy,0):}|=(b^(2)-ac)(ax^(2)+2bxy+cy^(2))`

Answer» `R_(3)toR_(3)-xR_(1)-yR_(2)` का प्रयोग करें
Discussion
256.

सिद्ध कीजिए - `|(sin^2A,sinA,cos^2A),(sin^2B,sinB,cos^2B),(sin^2C,sinC,cos^2C)|=-(sinA-sinB)(sinB-sinC)(sinC-sinA)`

Answer» L.H.S.`=|(sin^2A,sinA,cos^2A),(sin^2B,sinB,cos^2B),(sin^2C,sinC,cos^2C)|`
`=|(sin^2A,sinA,1-sin^2A),(sin^2B,sinB,1-sin^2B),(sin^2C,sinC,1-sin^2C)|`
`=|(sin^2A,sinA,1),(sin^2B,sinB,1),(sin^2C,sinC,1)|`
`=|(sin^2A-sin^2C,sinA-sinC,0),(sin^2B-sin^2C,sinB-sinC,0),(sin^2C,sinC,1)|`
(संक्रियाओं `R_1toR_1-R_3` और `R_2toR_2-R_3` से )
`=|(sinA+sinC,1,0),(sinB+sinC,1,0),(sin^2C,sinC,1)|`
[`R_1` और `R_2` से क्रमशः और `(sinB-sinC)` लेने पर ]
`=(sinA-sinC)(sinB-sinC)`
`=|(sinA+sinC,,0),(sinB+sinC,,1)|`
(`C_3` के अनुदिश प्रसार करने पर )
`=(sinA-sinC)(sinB-sinC)(sinA+sinC-sinB-sinC)`
`=-(sinA-sinB)(sinB-sinC)(sinC-sinA)`
R.H.S.
Discussion
257.

यदि a,b,c सभी धनात्मक संख्याएँ तथा गुणोत्तर श्रेणी के pवें, qवें और rवें पद है , तो दर्शाइये कि -`Delta=|(loga,p,1),(logb,q,1),(logc,r,1)|=0`

Answer» माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद A और R सर्वानुपात हो , तो
`a=AR^(p-1)rArr log a =logA+(p-1)logR`
`b=AR^(q-1)rArr log b =logA+(q-1)logR`
`c=AR^(r-1)rArr log c =log A+(r-1)log R`.
`therefore Delta = |(logA+(p-1)logR,p,1),(logA+(q-1)logR,q,1),(logA+(r-1)logR,r,1)|`
`rArrDelta=|(logA+(p-1)logR,p-1,1),(logA+(q-1)logR,q-1,1),(logA+(r-1)logR,r-1,1)|`
संक्रिया `C_2toC_2-C_3` से)
`rArr Delta=|(0,p-1,1),(0,q-1,1),(0,r-1,1)|`
[संक्रियाओं `C_1toC_1-(logA)C_3-(logR)C_2` से]
`rArr Delta =0`.
Discussion
258.

बिना विस्तार किए साबित करें कि `|{:(1,a,a^(2)),(1,b,b^(2)),(1,c,c^(2)):}|=|{:(1,bc,b+c),(1,ca,c+a),(1,ab,a+b):}|`

Answer» R.H.S. `=(1)/(abc)|{:(a,abc,a(b+c)),(b,abc,b(c+a)),(c,abc,c(a+b)):}|" "[R_(1)toaR_(1),R_(2)tobR_(2),R_(3)tocR_(3)]`
`=-(abc)/(abc)|{:(1,a,ab+ac),(1,b,bc+ba),(1,c,ca+bc):}|`
[दूसरे column से abc, लेने तथा `C_(1)harrC_(2)` का प्रयोग करने पर]
`=-|{:(1,a,-bc),(1,b,-ca),(1,c,-ab):}|" "[C_(3)toC_(3)-(ab+bc+ca)C_(1)]`
`=|{:(1,a,bc),(a,b,ca),(1,c,ab):}|=(1)/(abc)|{:(a,a^(2),abc),(b,b^(2),abc),(c,c^(2),abc):}|" "[R_(1)toaR_(1),R_(2)tobR_(2),R_(3)tocR_(3)]`
`=(abc)/(abc)|{:(a,a^(2),1),(b,b^(2),1),(c,c^(2),1):}|=|{:(1,a,a^(2)),(1,b,b^(2)),(1,c,c^(2)):}|" "[C_(2)harrC_(3)" तथा "C_(1)harrC_(2)" का प्रयोग करने पर"]`
Discussion
259.

यदि a,b,c धन हों तथा एक G.P. के क्रमशः pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद हो तो बिना विस्तार किए साबित करे कि `|{:(loga,p,1),(logb,q,1),(logc,c,1):}|=0`

Answer» माना कि G.P. का प्रथम पद x तथा common ratio y है ।
`a=xy^(p-1)" ":." "loga=logx+(p-1)logy`
`b=xy^(q-1)" ":." "logb=logx+(q-1)logy`
`c=xy^(r-1)" ":." "logx=logc+(r-1)logy`
अब, `|{:(loga,p,1),(logb,q,1),(logc,r,1):}|=|{:(logx+(p-1)logy,p,1),(logx+(q-1)logy,q,1),(logx+(r-1)logy,r,1):}|`
`=|{:((p-1)logy,p,1),((q-1)logy,q,1),((r-1)logy,r,1):}|" "[C_(1)toC_(1)-logxC_(3)]`
`=logy|{:(p-1,p,1),(q-1,q,1),(r-1,r,1):}|=logy|{:(p,p,1),(q,q,1),(r,r,1):}|" "[C_(1)toC_(1)+C_(3)]`
`=0" "` [चूँकि `C_(1)` तथा `C_(2)` समान है ।]
Discussion
260.

सिद्ध कीजिएः की `|{:(,3a,-a+b,-a+c),(,-b+a,3b,-b+c),(,-c+a,-c+b,3c):}|=3(a+b+c)(ab+bc+ca)`

Answer» `Delta=|(3a,-a+b,-a+c),(-b+a,3b,-b+c),(-c+a,-c+b,3c)|`
संक्रिया `C_(1)rarrC_(1)+C_(2)+C_(3)` लगाने पर,
`Delta=|(a+b+c,-a+b,-a+c),(a+b+c,3b,-b+c),(a+b+c,-c+b,3c)|`
`=(a+b+c)|(1,-a+b,-a+c),(1,3b,-b+c),(1,-c+b,3c)|` [`C_(1)` से(a+b+c) बाहर लेने पर]
संक्रियाएँ `R_(2)rarrR_(2)-R_(1)` और `R_(3)rarrR_(3)-R_(1)` लगाने पर,
`=(a+b+c)|(1,-a+b,-a+c),(0,2b+a,-b+a),(0,-c+a,2c+a)|`
`=(a+b+c)|(2b+a,-b+a),(-c+a,2c+a)|` [`C_(1)` के अनुदिश विस्तार करने पर]
`=(a+b+c){(2b+a)(2c+a)-(-b+a)(-c+a)}`
`=(a+b+c){4bc+2bc+2ac+a^(2)-bc+ab+ca-a^(2)}`
`=(a+b+c)(3ab+3bc+3ac)`
`=3(a+b+c)(ab+bc+ca)`
Discussion
261.

सरणिक के गुणों का प्रयोग करके सिद्धं कीजिये की `|{:(,1,1,1+3x),(,1+3y,1,1),(,1,1+3z,1):}|`

Answer» `Delta=|(1,1,1+3x),(1+3y,1,1),(1,1+3z,1)|=9(3xyz+xy+yz+zx)`
संक्रिया `C_(2)rarrC_(2)-C_(1),C_(3)rarrC_(3)-C_(1)` से,
`=|(1,0,3x),(1+3y,-3y,-3y),(1,3z,0)|`
`=3xx3|(1,0,x),(1+3y,-y,-y),(1,z,0)|`
संक्रिया `C_(3)rarrC_(3)-xC_(1)` से,
`=9|(1,0,0),(1+3y,-y,-y-x-3xy),(1,z,-x)|`
`=9|(-y,-y-x-3xy),(z,-x)|`
`=9{xy-z(-y-x-3xy)}`
`=9(3xyz+xy+yz+zx)`
Discussion
262.

यदि शीर्ष `(2,4),(,3,-2)` तथा (k-5) वले त्रिभुज का छतरफाल `(13)/(2)` वर्ग है तो k का मान ज्ञात कीजिएः।

Answer» प्रश्नानुसार,
`(1)/(2)|(2,4,1),(3,-2,1),(k,5,1)|का मापांक =(13)/(2)`
`implies |(2,4,1),(3,-2,1),(k,5,1)|` का मापांक =13
`implies{2(-2-5)+4(k-3)+1(15+2k)}` का मापांक =13
implies(-14+4k-12+15+2k) का मापांक =13
implies (6k-11) का मापांक =13
`implies pm(6k-11)=13`
implies6k-11=13 या -(6k-11)=13
implies 6k=24 या 6k+11=-13
implies 6k=24 या 6k=-24
implies k=4 या k=-4
implies k=4, -4
Discussion
263.

सारणियों के गुणों का प्रयोग कर साबित करे कि `|{:(3a,-a+b,-a+c),(a-b,3b,c-b),(a-c,b-c,3c):}|=3(a+b+c)(ab+bc+ca)`

Answer» माना कि `Delta=|{:(3a,-a+b,-a+c),(a-b,3b,c-b),(a-c,b-c,3c):}|`
तो, `Delta=(a+b+c)|{:(1,-a+b,-a+c),(1,3b,c-b),(1,b-c,3c):}|" "[C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)]`
`=(a+b+c)|{:(1,-a+b,-a+c),(0,2b+a,a-b),(0,-(2b+c),2x+b):}|" "[R_(3)toR_(3)-R_(2),R_(2)toR_(2)-R_(1)]`
`=(a+b+c)*1*|{:(2b+a,a-b),(-(2b+c),2c+b):}|" "` [पहले column के अनुदिश विस्तार करने पर]
`=(a+b+c)*{(2b+a)(2c+b)+(2b+c)(a-b)}`
`=(a+b+c)*(4bc+2b^(2)+2ca+ab+2ab-2b^(2)+ca-bc)`
`=3(a+b+c)*(ab+bc+ca)`,
Discussion
264.

सारणियों के गुणों का प्रयोग कर दिखाएँ कि `|{:(b^(2)c^(2),bc,b+c),(c^(2)a^(2),ca,c+a),(a^(2)b^(2),ab,a+b):}|=0`

Answer» माना कि `Delta=|{:(b_(2)c^(2),bc,b+c),(c^(2)a^(2),ca,c+a),(a^(2)b^(2),ab,a+b):}|`
`R_(1)` से bc तथा `R_(2)` से ca तथा `R_(3)` से ab, common लेने पर
`Delta=a^(2)b^(2)c^(2)|{:(bc,a,(1)/(b)+(1)/(c)),(ca,1,(1)/(c)+(1)/(a)),(ab,a,(1)/(2)+(1)/(b)):}|=a^(2)b^(2)c^(2)|{:(bc,1,(1)/(b)+(1)/(c)),(c(a-b),0,(1)/(a)-(1)/(b)),(b(a-c),0,(1)/(a)-(1)/(c)):}|" "[R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1)]`
`=a^(2)b^(2)c^(2)(a-b)(a-c)|{:(bc,a,(1)/(b)+(1)/c),(c,0,-(1)/(ab)),(b,0,-(1)/(ac)):}|=(a^(2)b^(2)c^(2)(a-b)(a-c))/(ab*ac)|{:(bc,a,(1)/(b)+(1)/(c)),(abc,0,-1),(abc,0,-1):}|" "[R_(2)"में ab तथा "R_(3) "में से गुणा करने पर"] `
`=bc(a-b)(a-c)xx0=0`.
Discussion
265.

सरणिको के गुणों का प्रयोग करके निम्न को x के लिए हल कीजिएः। `|{:(,x+a,x,x),(,x,x+a,x),(,x,x,x+a):}|=0`

Answer» `|(x+a,x,x),(x,x+a,x),(x,x,x+a)|=0`
संक्रिया `C_(1)rarrC_(1)+C_(2)+C_(3)` से,
`|(3x+a,x,x),(3x+a,x+a,x),(3x+a,x,x+a)|=0`
`C_(1)` से (3x+a) बाहर लेने पर,
`(3x+a)|(1,x,x),(1,x+a,x),(1,x,x+a)|=0`
संक्रिया `R_(2)rarrR_(2)-R_(1)` व `R_(3)rarrR_(3)-R_(1)` से,
`(3x+a)|(1,x,x),(0,a,0),(0,0,a)|=0`
`C_(1)` से अनुदिश विस्तार करने पर,
`(3x+a)|(a,0),(0,a)|=0`
`impliesa^(2)(3x+a)=0`
`implies3x+a=0[because a ne 0]`
`implies 3x=-a`
`implies x=-(a)/(3)`
Discussion
266.

सारणियों के गुणों का प्रयोग कर, x के लिए हल करे । `|{:(a+x,a-x,a-x),(a-x,a+x,a-x),(a-x,a-x,a+x):}|=0`

Answer» दिया है `|{:(a+x,a-x,a-x),(a-x,a+x,a-x),(a-x,a-x,a+x):}|=0rArr|{:(3a-x,a-x,a-x),(3a-x,a+x,a-x),(3a-x,a-x,a+x):}|=0" "[C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)]`
`rArr(3a-x)|{:(1,1a-x,a-x),(1,a+x,a-x),(1,a-x,a+x):}|=0rArr(3a-x)|{:(1,a-x,a-x),(0,2x,0),(0,0,2x):}|=0" "[R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1)]`
`rArr" "(3a-x)*1*|{:(2x,0),(0,2x):}|=0rArr(3a-x)*2x*2x=0`
`rArrx^(2)(3a-x)=0" "rArrx=0,3a`
Discussion
267.

सारणियों के गुणों का प्रयोग कर साबित करे कि `|{:(a,b,c),(a-b,b-c,c-a),(b+c,c+a,a+b):}|=a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc`

Answer» `|{:(a,b,c),(a-b,b-c,c-a),(b+c,c+a,a+b):}|=|{:(a+b+c,b,c),(0,b-c,c-a),(2(a+b+c),c+a,a+b):}|" "[C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)]`
`=(a+b+c)|{:(1,b,c),(0,b-c,c-a),(2,c+a,a+b):}|" "` [पहले column से (a+b+c) common लेने पर]
`=(a+b+c)|{:(1,b,c),(0,b-c,c-a),(0,c+a-2b,a+b-2c):}|" "[R_(3)toR_(3)-2R_(1)]`
`=(a+b+c)*1*|{:(b-c,c-a),(c+a-2b,a+b-2c):}|`
`=(a+b+c)|{:(b-c,c-a),(a-c,b-a):}|" "[R_(2)toR_(2)+2R_(1)]`
`=(a+b+c)[(b-c)(b-a)+(a-c)^(2)]`
`=(a+b+c)[(b^(2)-bc-ab+ac)+(a^(2)+c^(2)-2ac)]`
`=(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2)-ab-bc-ca)`
`=a^(3)+b^(3)+c^(3)abc=R.H.S.`
Discussion
268.

`x+2y+z=7` `x+3z=11` `2x-3y=1`

Answer» Correct Answer - `x=2,y=1,z=3`
Discussion
269.

`x+3y+3z=16` `x+4y+3z=18` `x+3y+4z=19`

Answer» Correct Answer - `x=1,y=2,z=3`
Discussion
270.

आव्यूह `A=[{:(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3):}]` का सहखण्डज आव्यूह ज्ञात करो ।

Answer» यहाँ `|A|=|{:(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3):}|`
अब |A| के अवयवों के सह्गुणनखण्ड `A_(11),A_(12),...A_(33)` निम्न प्रकार से ज्ञात होगें - -
`A_(11)=(-1)^(1+1)|{:(2,-3),(-1,3):}|=6-3=3`
`A_(12)=(-1)^(1+2)|{:(1,-3),(2,3):}|=-9`
`A_(13)=(-1)^(1+3)|{:(1,2),(2,-1):}|=-5`
`A_(21)=(-1)^(2+1)|{:(1,1),(-1,3):}|=-4`
`A_(22)=(-1)^(2+2)|{:(1,1),(2,3):}|=1`
`A_(23)=(-1)^(2+3)|{:(1,1),(2,-1):}|=3`
`A_(31)=(-1)^(3+1)|{:(1,1),(2,-3):}|=-5`
`A_(32)=(-1)^(3+2)|{:(1,1),(1,-3):}|=4`
`A_(33)=(-1)^(3+3)|{:(1,1),(1,2):}|=1`
|A| के अवयवों के सह्गुणनखण्ड से निर्मित आव्यूह यदि B हो तो
`B=[{:(3,-9,-5),(-4,1,3),(-5,4,1):}]`
`therefore` adj A=B का परिवर्त आव्यूह
`=[{:(3,-4,-5),(-9,1,4),(-5,3,1):}]`
Discussion
271.

`[{:(3,-4),(9,2):}]`

Answer» Correct Answer - `(1)/(42)[{:(2,4),(-9,3):}]`
Discussion
272.

`[{:(1,2,3),(1,3,5),(1,5,12):}]`

Answer» Correct Answer - `[{:((11)/(3),-3,(1)/(3)),((-7)/(3),3,(-2)/(3)),((2)/(3),-1,(1)/(3)):}]`
Discussion
273.

निम्न आव्यूह के सहखण्डज आव्यूह ज्ञात करो| `[{:(1,3,3),(1,4,3),(1,3,4):}]` निम्न आव्यूह का प्रतिलोम ज्ञात करो -

Answer» Correct Answer - `[{:(7,-3,-3),(-1,1,0),(-1,0,1):}]`
Discussion
274.

आव्यूह `[{:(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1):}]` का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `A=[{:(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1):}]=[{:(a_(11),a_(12),a_(13)),(a_(21),a_(22),a_(23)),(a_(31),a_(32),a_(33)):}]`
`|A|=|{:(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1):}|`
`=0(2-3)-1(1-9)+2(1-6)=-2ne0` इस प्रकार `A^(-1)` का अस्तित्व है। `A_(11)=a_(11)`
अर्थात 0 का सहखण्ड `=(-1)^(1+1)|{:(2,3),(1,1):}|=2-3=-1`
`A_(12)` अर्थात 1 का सहखण्ड
`=(-1)^(1+2)|{:(1,3),(3,1):}|=-(1-9)=8`
`A_(13)=(-1)^(1+3)|{:(1,2),(3,1):}|=1-6=-5`
`A_(21)=(-1)^(2+1)|{:(1,2),(1,1):}|=-(1-2)=1`
`A_(22)=(-1)^(2+2)|{:(0,2),(3,1):}|=0-6=-6`
`A_(23)=(-1)^(2+3)|{:(0,1),(3,1):}|=-(0-3)=3`
`A_(31)=(-1)^(3+1)|{:(1,2),(2,3):}|=3-4=-1`
`A_(32)=(-1)^(3+2)|{:(0,2),(1,3):}|=-(0-2)=2`
`A_(33)=(-1)^(3+3)|{:(0,1),(1,2):}|=0-1=-1`
माना `B=[{:(A_(11),A_(12),A_(13)),(A_(21),A_(22),A_(23)),(A_(31),A_(32),A_(33)):}]=[{:(-1,8,-5),(1,-6,3),(-1,2,-1):}]`
`adjA=B^(T)=[{:(-1,1,-1),(8,-6,2),(-5,3,-1):}]`
`A^(-1)=(adjA)/(|A|)=(adjA)/(-2)=[{:((1)/(2),-(1)/(2),(1)/(2)),(-4,3,-1),((5)/(2),-(3)/(2),(1)/(2)):}]`
Discussion
275.

`[{:(2,-2,3),(1,0,-3),(3,4,0):}]`

Answer» Correct Answer - `[{:((2)/(9),(2)/(9),(1)/(9)),(-(1)/(6),(-1)/(6),(1)/(6)),((2)/(27),(-7)/(27),(1)/(27)):}]`
Discussion
276.

If roots of the equation `x^(2)-(2+m)x+(m^(2)-4m+4)=0` are equal then value of m is/are:A. `(2)/(3),1`B. `(2)/(3),6`C. `0,1`D. `0,2`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
277.

आव्यूह `A=[{:(costheta,-sintheta,0),(sintheta,costheta,0),(0,0,1):}]` का प्रतिलोम ज्ञात कीजिये ।

Answer» Correct Answer - `[{:(costheta,sintheta,0),(-sintheta,costheta,0),(0,0,1):}]`
Discussion
278.

`[{:(1,4,3),(4,2,1),(3,2,2):}]`

Answer» Correct Answer - `[{:(-(1)/(6),(1)/(6),(1)/(6)),((5)/(12),(7)/(12),-(11)/(12)),(-(1)/(6),(-5)/(6),(7)/(6)):}]`
Discussion
279.

यदि `anep,bneq,cner` तथा `|{:(p,b,c),(a,q,c),(a,b,r):}|=0` तो सिद्ध कीजिए कि `(p)/(p-a)+(q)/(q-b)+(r)/(r-c)=2`

Answer» दिया है - `|{:(p,b,c),(a,q,c),(a,b,r):}|=0 R_(1)-R_(2)` तथा `R_(2)-R_(3)` से,
`|{:(p-a,b-a,0),(0,q-b,c-r),(a,b,r):}|=0`
या `|{:((p-a),-(q-b),0),(0,q-b,-(r-c)),(a,b,r):}|=0`
उपरोक्त सारणी का प्रसार करने पर,
`(p-a)[(q-b)r+b(r-c)]+(q-b)[0+a(r-c)]=0rArr(p-a)(q-b)r+b(r-c)(p-a)+a(q-b)(r-c)=0`
दोनों पक्षों को `(p-a)(q-b)(r-c)` से भाग करने पर, `(r)/(r-c)+(b)/(q-b)+(a)/(p-a)=0`
दोनों ओर 2 जोड़ने पर,
`(r)/(r-c)+((b)/(q-b)+1)+((a)/(p-a)+1)=2`
`rArr(r)/(r-c)+((b+q-b)/(q-b))+((a+p-a)/(p-a))=2`
`rArr(r)/(r-c)+(q)/(q-b)+(p)/(p-a)=2`
`rArr(p)/(p-a)+(q)/(q-b)+(r)/(r-c)=2`
`rArr(p)/(p-a)+(q)/(q-b)+(r)/(r-c)=2` यही सिद्ध करना था ।
Discussion
280.

`[{:(1,2,1),(1,1,1),(3,2,2):}]`

Answer» Correct Answer - `[{:(0,-2,1),(1,-1,0),(-1,4,-1):}]`
Discussion
281.

यदि`A=[(1,sin theta, 1),(-sintheta, 1, sin theta),(-1,-sin theta,1)]` जहां `0lethetalepi` हो तो:A. `"det"(A)=0`B. `"det"(A)epsilon(2,oo)`C. `"det"(A)epsilon(2,4)`D. `"det"(A)epsilon[2,4]`

Answer» Correct Answer - D
`:.A=[(1,sin theta, 1),(-sin theta, 1, sin theta),(-1,-sintheta, 1)]`
`implies|A|=|(1,sin theta, 1),(-sin theta, 1, sin theta),(-1, -sin theta, 1)|`
`=1(1+sin^(2)thetas)-sin theta(-sin theta+sin theta)`
`+1(sin^(2)theta+1)=2+2sin^(2)theta`
`0letheta2pi` के ‌लिये
`-1le sin theta le 1implies0le sin^(2)theta le 1`
`implies1le1+sin^(2)thetale2`
`implies2le 2+2sin^(2)theta le4implies2le |A|le4`
`implies"det"A epsilon[2,4]`
Discussion
282.

यदि `Delta_(1)=|(a,b,c),(x,y,z),(p,q,r)|` और `Delta_(2)=|(q,-b,y),(-p,s,x),(r,-c,z)|` हो तो सिद्ध कीजिए `Delta_(1)+Delta_(2)=0`.

Answer» यहाँ `Delta_(2)=|(q,-b,y),(-p,s,-x),(r,-c,z)|`
`rArr Delta_(2)=-|(q,-b,y),(p,-a,x),(r,-c,z)|`
`rArrDelta_(2)=|(q,b,y),(p,a,x),(r,c,z)|`
[`C_2` से `(-1)` उभयनिष्ट लेने पर]
`rArrDelta_(2)=|(q,p,r),(b,a,c),(y,x,z)|` (पंक्तियों और स्तम्भों को आपस में बदलने पर)
`rArrDelta_(2)=-|(p,q,r),(a,b,c),(x,y,z)|`
`rArrDelta_(2)=-|(a,b,c),(x,y,z),(p,q,r)|` (संक्रिया `R_2harrR_3` से )
`rArr Delta_2=-Delta_(1)`
`rArr Delta_(1)+Delta_(2)=0`.
Discussion
283.

निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए। `2/x+3/y+10/z=4` `4/x-6/y+5/z=1``6/x+9/y-20/z=2`

Answer» माना `1/x=p,1/y=q,1/z=r`
`:.` दिया गया समीकरण निकाय
`2p+3q+10r=4` ltbgt `4p-6q+5r=1`
`6p+9q-20r=2`
`implies[(2,3,10),(4,-6,5),(6,9,-20)][(p),(q),(r)]=[(4),(1),(2)]impliesAX=B`…………..1
`:.A[(2,3,10),(4,-6,5),(6,9,-20)]`
`=2(120-45)-3(-80-30)+10(36+36)`
`=150+330+720=1200!=0`
`impliesA` व्‍युत्‍क्रमणीय है।
`A_(11)=75,A_(12)=110,A_(13)=72`
`=A_(21)=150,A_(22)=100,A_(23)=0`
`A_(31)=75,A_(32)=30,A_(33)=-24`
`:.adjA=[(75,110,72),(150,-100,0),(75,30,-24)]`
`=[(75,150,75),(110,-100,30),(72,0,-24)]`
तथा `A^(-1)=1/(|A|).adjA=1/1200[(75,150,75),(110,-100,30),(72,0,-24)]`
समीकरण 1 से `AX=BimpliesX=A^(-1)B`
`implies[(p),(q),(r)]=1/1200[(75,150,75),(110-100,30),(72,0,-24)][(4),(1),(2)]`
`=1/1200[(300+150+150),(440-100+60),(288+0-48)]=[(1/2),(1/3),(1/5)]`
`implies p=1/2,q=1/3,r=1/5`
`implies1/x=1/2,1/y=1/3,1/z=1/5`
`impliesx=2,y=3,z=5`
Discussion
284.

यदि `a ne p,bneq,cne r` तथा `|{:(p,b,c),(a,q,c),(a,b,r):}|=0,`लो सिद्ध कीजिए कि `(p)/(p-a)+(q)/(q-b)+(r)/(r-c)=2.`

Answer» `|{:(p,b,c),(a,q,c),(a,b,r):}|=0`
`R_(1)-R_(2)`तथा `R_(2)-R_(3)` से
`|{:(p-a,b-1,0),(0,q-b,c-r),(a,b,r):}|=0` या `|{:((p-a),-(q-a),0),(0,(q-b),-(r-c)),(a,b,r):}|=0`
प्रयास करने पर
`(p-a)[(q-b)r+b(r-c)]+(q-b)[0+a(r-c)]=0`
`(p-0)(q-b)r+b(r-c)(p-a)+a(q-b)(r-c)=0`
दोनों पक्षों में `(p-a)(q-b)(r-c)` से भाग देने पर,
`(r)/(r-c)+(b)/(q-b)+(c)/(p-a)=0`
दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर,
`(r)/((r-c))+((b)/(q-b)+1)+((a)/(p-a)+1)=2`
`(r)/(r-c)+((b+q-b)/(q-b))+((a+p-a)/(p-a))=2`
`(r)/(r-c)+(q)/(q-b)+(p)/(p-a)=2`
या `(p)/(p-a)+(q)/(q-b)+(p)/(p-a)=2`
Discussion
285.

यदि `f(x)=|(a,-1,0),(ax,a,-1),(ax^2,ax,a)|`, तब सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से `f(2x)-f(x)` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» यहाँ
`f(x)=|(a,-1,0),(ax,a,-1),(ax^2,ax,a)|`
`=a|(1,-1,0),(x,a,-1),(x^2,ax,a)|`
(`C_1` से a उभयनिष्ट लेने पर)
`=a|(0,-1,0),(x+a,a,-1),(x^2+ax,ax,a)|` (संक्रिया `C_1toC_1+C_2` से)
`=axx|(x+a,-1),(x^2+ax,a)|`
( `R_1` के सापेक्ष प्रसार करने पर)
`=a(ax+a^2+x^2+ax)`
`rArr f(x)=a(x^2+2ax+a^2)=a(x+a)^2`
`therefore f(2x)=a(2a+a^2)`
अब,
`f(2x)-f(x)=a(2x+a)^2-a(x+a)^2`
`=a[(2x+a)^2-(x+a)^2]`
`=a[(2a+a+x+a)(2x+a-x-a)]`
`=a[(3x+2a)(x)]`
`=ax(3x+2a)`.
Discussion
286.

सिद्ध कीजिए कि :`|{:(a^(2)+1,ab,ac),(ab,b^(2)+1,bc),(ac, bc,c^(2)+1):}|=1+a^(2)+b^(2)+c^(2).`

Answer» बायाँ पक्ष `|{:(a^(2)+1,ab,ac),(ab,b^(2)+1,bc),(ac, bc,c^(2)+1):}|`
इसको 8 सरणिको के योगफल में परिवर्तित करने पर
बायाँ पक्ष `=|{:(a^(2)+1,ab,ac),(ab,b^(2)+a,bc),(ac,bc,c^(2)):}|+|{:(1,ab,ac),(0,b^(2),bc),(0,bc,c^(2)):}|+|{:(a^(2),0,ac),(ab,1,bc),(ca,0,c^(2)):}|+|{:(a^(2),ab,0),(ab,b^(2),0),(ca,bc,1):}| +|{:(a^(2),0,0),(ab,1,0),(ac,0,1):}|+|{:(1,ab,0),(0,b^(2),0),(0,bc,1):}|+|{:(1,0,ac),(0,1,bc),(0,bc,c^(2)):}|+|{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}|`
`=abc|{:(a,a,a),(b,b,b),(c,c,c):}|+(b^(2)c^(2)-b^(2)c^(2))+(a^(2)c^(2)-a^(2)c^(2))+1(a^(2)b^(2)-a^(2)b^(2))+a^(2)(1-0)+1(b^(2)-0)+1(c^(2)-0)+1=a^(2)+b^(2)+c^(2)+1`=दायाँ पक्ष ।
Discussion
287.

यदि `a+b+c=0` तो निम्नलिखित समीकरण को हल करें । `|{:(a-x,c,b),(c,b-x,a),(b,a,c-x):}|=0`

Answer» दिए गए समीकरणों से,
`|{:(a+b+c-x,c,b),(a+b+c-x,b-x,a),(a+b+c-x,a,c-x):}|=0" "[C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)]`
या, `(a+b+c-x)|{:(1,c,b),(1,b-x,a),(1,a,c-x):}|=0`
या, `(-x)|{:(1,c,b),(0,b-c-x,a-b),(0,a-c,c-b-x):}|=0" "{:([R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1)]),([becausea+b+c=0]):}`
या, `x[(b-c-x)(c-b-x)-(a-c)(a-b)]=0" "` [ पहले column के अनुदिश विस्तार करने पर]
या, `x(x^(2)-b^(2)-c^(2)+2bc-a^(2)+ab+ca-bc)=0`
या, `x(x^(2)-a^(2)-b^(2)-c^(2)+ab+bc+ca)=0`
`:." "x=0`
या, `x^(2)=a^(2)+b^(2)+c^(2)-(ab+bc+ca)`
`=(a^(2)+b^(2)+c^(2))-(1)/(2){(a+b+c)^(2)-(a^(2)+b^(2)+c^(2))}`
`=(3)/(2)(a^(2)+b^(2)+c^(2))" "[becausea+b+c=0]`
`:." "x=0` या, `x=pmsqrt({(3)/(2)(a^(2)+b^(2)+c^(2))})`
Discussion
288.

क्या निम्नलिखित आव्यूह आव्यूत्क्रमणीय हैं ? (i) `A=[{:(1,2,3),(2,4,6),(1,4,5):}]` (ii) `A=[{:(1,2,3),(2,4,6),(3,5,9):}]` (iii) `A=[{:(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1):}]`

Answer» Correct Answer - (i) हाँ ,(ii) हाँ, (iii) नहीं|
Discussion
289.

सिद्ध कीजिए कि `|(x,y,z),(x^2,y^2,z^2),(yz,zx,xy)|=|(1,1,1),(x^2,y^2,z^2),(x^3,y^3,z^3)|`.

Answer» L.H.S.`=|(x,y,z),(x^2,y^2,z^2),(yz,zx,xy)|`
`=(1)/(xyz)|(x^2,y^2,z^2),(x^3,y^3,z^3),(xyz,xyz,xyz)|`, [`C_1xx x,C_2xxy,C_3xxz` तथा `(1)/(xyz)` उभयनिष्ट लेने पर]
`=(1)/(xyz),xyz|(x^2,y^2,z^2),(x^3,y^3,z^3),(1,1,1)|`, [`R_3` से xyz उभयनिष्ट लेने पर]
`=|(x^2,y^2,z^2),(x^3,y^3,z^3),(1,1,1)|`
`=|(1,1,1),(x^2,y^2,z^2),(x^3,y^3,z^3)|`
[`R_1toR_2` और तब `R_2toR_3` को परस्पर बदलने पर].
=R.H.S.
Discussion
290.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष `(-2,4),(2,-6)` तथा `(5,4)` है।

Answer» दिए गए त्रिभुज के शीर्ष है-`(-2,4),(2-6)` तथा (5,4)
अब इन बिन्दुओ को सरणिक रूप में निम्न प्रकार लिखेंगे-
`Delta=1/2|{:(-2,4,1),(2,-6,1),(5,4,1):}|`
`=1/2[(-2)(-6-4)-4(2-5)+1(8+30)]`
`=1/2[(-2)(-10)-4(-3)+38]`
`=1/2[20+12+38]=1/2xx70=35`
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई होगा।
Discussion
291.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष `(3,8),(-4,2)` और `(5,1)` है ।

Answer» यहाँ `(x_(1),y_(1))=(3,8),(x_2y_2)=(5,1)`
त्रिभुज का क्षेत्रफल `=(1)/(2)|(x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1)|` का निरपेक्ष मान
`=(1)/(2)|(3,8,1),(-4,2,1),(x_3,y_3,1)|=(1)/(2)|3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)|`
`=(1)/(2)|3+72-14|`
`=(61)/(2)` वर्ग इकाई ।
Discussion
292.

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाले जिसके शीर्ष (3,8), (-4,2) तथा (5,-1) है ।

Answer» माना कि `A-=(3,8),B-=(-4,2),C-=(5,-1)`
अब `DeltaABC` का क्षेत्रफल `=(1)/(2)|{:(3,8,1),(-4,2,1),(5,-1,1):}|` का मापांक
`=|{:[(1)/(2)[3(2+1)-8(-4-5)+1(4-10)]:}|" "` [पहले row के अनुदिश विस्तार करने पर]
`=|{:(1)/(2)[9+72-6]:}| = |{:(75)/(2):}|=(75)/(2)=37.5` वर्ग इकाई
Discussion
293.

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?A. सारणिक एक वर्ग आव्यूह है।B. सारणिक एक आव्यूह से संबद्ध एक संख्या है।C. सारणिक एक वर्ग आव्यूह से संबद्ध एक संख्या है।D. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - C
क्योंकि प्रत्येक वर्ग आव्यूह के सारणिक से संबद्ध एक संख्या होती है।
Discussion
294.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष `(3,8),(-4,2),(5,1)` है।

Answer» त्रिभुज के शीर्ष है `(3,8),(-4,2)` और `(5,1)` अब इन बिन्दुओ को सरणिक रूप में निम्न प्रकार लिखेंगे:
`Delta=1/2|{:(3,8,1),(-4,2,1),(5,1,1):}|`
`=1/2[2(2-1)-8(-9)+1(-14)]`
`=1/2(1+72-14)`
`=1/2xx61=(61)/(2)`वर्ग इकाई।
Discussion
295.

निम्न अवव्यूह में से कौन-सा अवव्यूह व्यक्तिकरमणीय नहीं हैA. `[{:(,1,1),(,0,1):}]`B. `[{:(,-1,-1),(,-1,2):}]`C. `[{:(,2,3),(,4,6):}]`D. `[{:(,2,-2),(,1,1):}]`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
296.

यदि शीर्ष `(2,4),(3,-2)` तथा `(k,5)` वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल `13/2` वर्ग इसे है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» त्रिभुज के शीर्ष क्रमशः `(2,4),(3,-2)` तथा `(k,5)` है तथा इसका क्षेत्रफल `13/2` वर्ग इकाई है।
अतः इन शीर्ष बिन्दुओ को सरणिक रूप में निम्न प्रकार लिखेंगे-
`Delta` का क्षेत्रफल `=1/2|{:(2,4,1),(3,-2,1),(k,5,1):}|`
`13/2=1/2[2(-2-5)-3(4-5)+k(4+2)]`
`13=-14+3+6k`
`13=-11+6k`
`6k=13+11=24`
`k=4`अतः k का मान 4 होगा।
Discussion
297.

सिद्ध कीजिए - `|(3k,-x+y,-x+z),(x-y,3y,z-y),(x-z,y-z,3z)|=3(x+y+z)(xy+yz+zx)`.

Answer» L.H.S.`=|(3k,-x+y,-x+z),(x-y,3y,z-y),(x-z,y-z,3z)|`
`=|(x+y+z,-x+y,-x+z),(x+y+z,3y,z-y),(x+y+z,y-z,3z)|`
संक्रिया `C_1toC_1+C_2+C_3` से)
`=(x+y+z)=|(1,-x+y,-x+z),(1,3y,z-y),(1,y-z,3z)|`
[`C_1` से `(x+y+z)` उभयनिष्ट लेने पर]
`=(x+y+z)|(1,-x+y,-x+z),(0,2x+x,x-y),(0,x-z,2z+x)|`
(संक्रियाओं `R_2toC_2-R_2` और `R_3toR_3-R_1` से)
`=(x+y+z)xx1xx|(2y+x,x-y),(x-z,2z+x)|`
`=(x+y+z)[(2y+x)(2z+x)-(x-y)(x-z)]`
`=(x+y+z)[(4yz+2xy+2xy+2zx+x^2-x^2+xz+xy-yz]`
`=(x+y+z)[(3xy+3yz+3zx]`
`=3(x+y+z)(xy+yz+zx)`
R.H.S.
Discussion
298.

यदि `|{:(,k,k),(,4,2k):}|=0` तो k का मान है-A. 0,1B. 1,2C. 0,2D. 0,-2

Answer» Correct Answer - C
Discussion
299.

सारणिको का प्रयोग करके `A(1,3)` और `B(0,0)` को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए और k का मान ज्ञात कीजिए यदि एक बिंदु `D(k,0)` इस प्रकार है कि `DeltaABD` का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है।

Answer» मान लीजिए रेखा AB पर कोई बिंदु `P(x,y)` हो, तब `DeltaAVP` का क्षेत्रफल =0
`1/2|{:(1,3,1),(0,0,1),(x,y,0):}|=0`
`1/2[1(0-y)-1(0-x)+1(0-0)]=0`
`-y+3x+0=0`
`3x -y=0`
जोकि रेखा AB का अभीष्ट समीकरण है।
अब `DeltaABD` का क्षेत्रफल =3 वर्ग इकाई
`1/2|{:(1,3,1),(0,0,1),(k,0,1):}|=+-3`
`implies1/2[1(0-0)-3(0-k)+1(0-0)]=+-3`
`implies-3(-k)=+-6`
`implies3k=+-6`
`impliesk=+-2.`
Discussion
300.

यदि `A=[{:(,a,b),(,c,d):}` इस प्रकार है की तो बराबर हैA. `(1)/(ad-bc)[{:(,d,b),(,-c,a):}]`B. `[{:(,d,c),(,-c,a):}]`C. `(1)/(ad-bc)[{:(,d,-c),(,-c,a):}]`D. `इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - C
Discussion