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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
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यदि `P(n-1,3) : P(n,4) = 1:9`, तो n मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» प्रश्नानुसार, `(P(n-1,3))/(P(n,4)) = 1/9` `rArr (((n-1)!)/((n-1-3)!))/((n!)/((n-4))) = 1/9` `rArr ((n-1)!(n-4)!)/(n!(n-4)!) =1/9 rArr ((n-1)!)/(n!) = 1/9` `rArr ((n-1)!)/(n(n-1)!) = 1/9 rArr n = 9` |
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| 52. |
यदि `P(5,r) = 2P (6,r-1)` तो, n का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» प्रश्नानुसार `P(5,r) = 2P (6,r-1)` `rArr (5!)/((5-r)!) = 2.(6!)/([6-(r-1)]!)` `rArr (5!)/((5-r)!) = (12.5!)/((7-r)(6-r)(5-r)!)` `rArr 1 = (12)/((7-r)(6-r))` `rArr (7-r) (6-r) = 4.3` `rArr 7 - r = 4` `r = 7 - 4 = 3` |
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| 53. |
यदि `2P(5,3) = P(n,4)` तो n का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» प्रश्नानुसार `2P(5,3) =P(n,4)` `rArr P(n,4) = 2P(5,3)` `rArr (n!)/((n-4)!) = (2.5!)/((5-3)!) = (2.5!)/(2!)` `rArr n(n-1) (n-2) (n-3) = 5!` `rArr n(n-1)(n-2)(n-3) = 5.4.3.2.1` `rArr n(n-1) (n-2)(n-3) = 5(5-1)(5-2)(5-3)` `rArr n = 5` |
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| 54. |
यदि `1/(4!) + 1/(5!) = x/(6!)` तो x का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» Correct Answer - 36 `1/(4!) + (1)/(5!) = (x)/(6!) rArr (1)/(4!) + (1)/(5xx4!) = (x)/(6xx5xx4!)` `1/(4!) + (1)/(5 xx4!) = (x)/(30xx4!)` `1/(4!) [1+1/5] = x/(30xx4!)` `6/5 = x/30` `x = 36` |
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| 55. |
सिद्ध कीजिए कि - (i) `""^(n)P_(n)= ""^(n)P_(n-1)` , (ii) `""^(n)P_(r) = ""^(r )P_(n).""^(n)P_(n-r)` |
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Answer» बायाँ पक्ष `= ""^(n)P_(n) = (n!)/((n-n)!) = (n!)/(0!) = n!` दाँया पक्ष `= ""^(n)P_(n-1)= (n!)/((n-n+1)!) = (n!)/(1) = n! rArr` बायाँ पक्ष = दाँया पक्ष |
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| 56. |
सिद्ध कीजिए कि - (i) `""^(8)P_(3) = ""^(7)P_(3) + 3. ""^(7)P_(2)`, (ii) `""^(9)P_(4) + 4.""^(9)P_(3) = ""^(10)P_(4)` |
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Answer» (i) दायाँ पक्ष `= ""^(7)p_(3) + 3.""^(7)p_(2) = (7!)/(4!) + 3. (7!)/(5!) = (7!)/(4!) + 3.(7!)/(5.4!) = (7!)/(4!) (1+3/5)` `= (7!)/(4!) (8/5) = (8.7!)/(5.4!) = (8!)/(5!) = (8!)/((8-3)!) = ""^(8)p_(3)` = बाँया पक्ष |
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| 57. |
यदि `""^(n)P_(r ) = ""^(n)P_(r+1)` तथा `""^(n)C_(r) = ""^(n) C_(r-1)`, तो सिद्ध कीजिए कि - `n = 3, r = 2` |
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Answer» दिया है `""^(n)P_(r) = ""^(n)P_(r+1)rArr (n!)/((n-r)!) = (n!)/((n-r-1)!)` `rArr (n-r) ! = (n-r-1)!` `rArr (n-r)(n-r-1) = (n-r-1)!` `rArr n - r = 1"........"` अब `""^(n)C_(r)=""^(n)C_(r-1) rArr ""^(n)C_(n-r) = ""^(n)C_(r-1)` `rArr n - r = r - 1` `rArr 2r = n+ 1"......"(ii)` समीकरण (i) व (ii) का हल करने पर , `n = 3, r = 2` |
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| 58. |
अंक 1,2,3,4,5,6,7 से तीन अंकों की बनाई जाने वाली वर्द्धमान समान्तर श्रेणी की संख्या है -A. 5B. 6C. 8D. 9 |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 59. |
मान ज्ञात कीजिए - (i) `""^(7)P_(7)` , (ii) `""^(75)P_(2)` (iii) `""^(n)P_(r), n = 16, r = 3` , (iv) `""^(6)P_(2)` |
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Answer» Correct Answer - (i) 5040 , (ii) 5550, (iii) 3360 , (iv) 30 (i) `""^(7)P_(7) = (7!)/((7-7!)) = (7!)/(0!)= (7!)/(1)= 5040` |
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| 60. |
सिद्ध कीजिए कि `((n+1)!)/((n-2)!) = n^(3) - n` |
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Answer» बाँया पक्ष `= ((n+1)!)/((n-2)!) = ((n+1)n(n-1)(n-2)!)/((n-2)!)` `= (n+1)n(n-1) = (n^(2) - 1) n = n^(3) - n =` दायाँ पक्ष |
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| 61. |
यदि `(n+3) ! = 56[(n+1)!]` तो n का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» Correct Answer - 5 `(n+3)! = 56(n+1)! rArr (n +3) (n+2) (n+1) = 56(n+1)!` `rArr (n+3) (n+2) = 56 rArr n^(2) + 5n - 50 = 0` ` :. n = 5,-10` `n = 5` (ग्राह्य मान) |
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| 62. |
यदि `""^(20)C_(r ) = ""^(20)C_(r+4)`, तो सिद्ध कीजिए `""^(r )C_(2) = 28` |
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Answer» `""^(20)C_(r ) = ""^(20)C_(r+4) rArr""^(20)C_(20-r) = ""^(20)C_(r+4)` `rArr 20 -r = r+4` ` rArr r = 8` `""^(r )C_(2) = ""^(8)C_(2) = (8!)/(2!.6!)` `= (8xx7xx6!)/(2xx6!) = 28` |
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| 63. |
कितनी प्रकार 5 लैटर , 4 बॉक्स में डाले जा सकते हैं ? |
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Answer» क्योकि प्रत्येक लैटर किसी भी बॉक्स में डाला जा सकता है । `rArr`एक लैटर को डालने के कुल प्रकार `= 4` अतः 5 लैटर को बॉक्स में डालने के कुल प्रकार `= 4 xx 4 xx 4 xx 4 xx 4 = 4^(5)` |
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| 64. |
यदि `""^(18)C_(r) = ""^(18)C_(r+2)`, तो सिद्ध कीजिए `""^(r )C_(5) = 56` |
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Answer» `""^(18)C_(r) = ""^(18)C_(18-r) = ""^(18)C_(r+2)` `rArr 18 -r= r+2` `rArr r = 8` `:. ""^(r )C_(5) = ""^(8)C_(5)= (8!)/(5!.3!) = 56` |
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| 65. |
एक षट्भुज के शीर्षों को मिलाकर कितने त्रिभुज बनाये जा सकते हैं ? |
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Answer» एक षट्भुज में शीर्षों की संख्या`= 6` हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज को बनाने के लिए 3 शीर्षों की आवश्यकता होती है । इसलिए हम 6 शीर्षों में से 3 का चयन करना चाहते हैं । जिसके कुल प्रकार `= ""^(6)C_(3) = (6!)/(3! xx 3!) = 20` |
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| 66. |
कितने प्रकार से 7 तस्वीरें 5 खूंटियों पर टाँगीं जा सकती हैं ? |
| Answer» कुल प्रकार ` = ""^(7)P_(5) = (7!)/((7-5)!) = (7!)/(2!) = (7 xx 6 xx 5xx 4 xx 3 xx 2!)/(2!) = 2520` | |
| 67. |
सिद्ध कीजिए की क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल `m!` से विभाजित है । |
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Answer» माना `n+1,n+2"….."n+m` क्रमागत m धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ हैं । इसका गुणनफल `=(n+1)(n+2)(n+3)"...."(n+m)` `=(n!(n+1)(n+2)(n+3)"....."(n+m))/(n!)` `= ((n+m)!)/(n!) = (m !(n+m)!)/(n!m!)` `=m!((n+m)!)/(m![(n+m)-m]!)` `= m!""^(n+m)C_(m)` जो कि `m!` से विभाजित है । |
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| 68. |
सिद्ध कीजिए 2 व n के बीच किसी भी प्राकृत संख्या से `(n! + 1)` विभाजित नहीं है । |
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Answer» माना 1 व k के बीच m एक ऐसी प्राकृत संख्या है जो k व r से विभाजित है । यदि `(m+r)` को k से विभाजित करते हैं तो शेषफल r बचता है । क्योकि `n! = 1.2.3.4 "...." (n-1) n` `rArr n!,2` व n के बीच आने वाली सभी प्राकृत संख्याओं से विभाजित है । `rArr (n! + 1 )` जब 2 व n के बीच आने वाली प्राकृत संख्याओं से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 1 बचता है । `rArr (n! + 1 ), 2` व n के बीच आने वाली किसी भी प्राकृत संख्या से विभाजित नहीं है । |
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| 69. |
सिद्ध कीजिए कि यदि `r le s le n`, तब `""^(n)P_(s), ""^(n)P_(r)` से विभाजित है। |
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Answer» यदि `rleslen` `rArr""^(n)P_(s)=n(n-1)(n-2)".."(n-r+1)".."(n-s+1)` `=[n(n-1)"..."(n-r+1)].[(n-r)"..."(n-s+1)]` `=""^(n)P_(r)[(n-r)"..."(n-s+1)]` `rArr ""^(n)P_(s), ""^(n)P_(r)` से विभाजित है । |
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| 70. |
सिद्ध कीजिए कि - `n!(n+2) = n! + (n+1)!` |
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Answer» बाँया पक्ष `= n!(n+2) = n.n! + 2n! = n.n! + n! + n!` `= n! (n+1) + n! = (n+1)! + n` दायाँ पक्ष |
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| 71. |
2,3,4,5 अंकों से, सभी को एक सतह लेकर बनने वाली संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए । |
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Answer» 2,3,4,5 अंकों से बनने वाली वाली कुल संख्याओं की संख्या `= "^(4)P_(4) = 24` हमें इन 24 संख्याओं का योग ज्ञात करना है । इसके लिए हम इकाई, दहाई, सैकड़े व हजारवें स्थान के अंकों का योग ज्ञात करेंगे । इकाई स्थान पर 2,3,4,5 अंक आने के कुल प्रकार `= 3! = 6` `:.` इकाई स्थान पर आने वाले अंकों का योग `= (2+3+4+5)6 = 84` क्योकि प्रत्येक अंक, शेष संख्याओं में 6 प्रकार से आ सकता है । `:.` कुल वांछित संख्या `= (2+3+4+5)xx6=84` इसलिए दिये गये अंकों से बनने वाली कुल संख्याओं का योग `= 84(10^(0) + 10^(1) +10^(2) + 10^(3)) = 93324` |
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| 72. |
एक समतल में 10 बिंदु हैं, इसमें कोई भी तीन एक सरल रेखा पर स्थित नहीं हैं केवल उन 4 बिन्दुओं को छोड़कर जो संरेखीय हैं । ज्ञात कीजिए - (i) बिन्दुओं के युग्म से बनने वाली सरल रेखाओं की संख्या । (ii) इन बिन्दुओं को शीर्ष बनाने वाले त्रिभुजों की संख्या । |
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Answer» (i) 10 बिंदुओं से 2-2 बिंदु लेकर बनने वाली सरल रेखाओं की संख्या `= ""^(10)C_(2) = (10!)/(2! xx 8!) = 45` 4 संरेखीय बिंदुओं में से एक समय 2-2 में लेने पर, बनने वाली सरल रेखाओं की संख्या `= ""^(4)C_(2) = (4!)/(2!2!) = 6` किन्तु 4 संरेखीय बिंदु, एक ही सरल रेखा बनायेंगे। `:.`कुल वांछित सरल रेखाओं की संख्या `= 45 - 6 + 1 = 40` (ii) 10 में से 3 बिंदुओं में बिंदुओं को एक - एक साथ लेने पर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या `= ""^(10)C_(3) = (10!)/(3! xx 7!) = 120` 4 बिंदुओं में से 3 लेकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या `= ""^(4)C_(3) = 4` `:.` चारों संरेखीय बिंदुओं में से लेने पर त्रिभुज नहीं बन सकता इसलिए, वांछित त्रिभुजों की कुल संख्या `= 120 -4 = 116` |
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| 73. |
`0,1,2,3,4` से बनने वाली 5 अंकों की संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि अंकों की एक ही तरह से पुनरावृत्ति होती हो । |
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Answer» हम जानते हैं 0,1,2,3,4 कि से बनने वाली 5 अंकों की संख्या में 0 दस हजारवें स्थान स्पर नहीं आ सकती । इसीलिए दस हजारवें स्थान को भरने के कुल प्रकार = 4 क्योकि अंकों की पुनरावृत्ति सम्भव हैं, इसलिए शेष हर एक स्थान 5 प्रकारों से भरा जा सकता है । `:.` वांछित संख्याओं की कुल संख्या `= 4 xx 5 xx 5 xx 5 xx 5 = 2500` |
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| 74. |
यदि m समांतर रेखाएँ n समांतर रेखाओं को काटती है तो उनसे बनने वाले समांतर चतुर्भुजों की संख्या ज्ञात कीजिए । |
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Answer» हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए m समांतर रेखाओं में से 2 तथा n समांतर रेखाओं में से भी दो रेखाओं का चयन करना हैं । अब, m समांतर रेखाओं से 2 रेखा चुनने के कुल प्रकार `= ""^(m)C_(2)` तथा , n समांतर रेखाओं से 2 रेखा चुनने के कुल प्रकार `= ""^(n)C_(2)` `:.` समांतर चतुर्भुजों की संख्या `= ""^(m)C_(2) xx ""^(n)C_(2)` ` = (m(m-1))/(2) xx (n(n-1))/(2)` `= (mn(m-1)(n-1))/(4)` |
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| 75. |
ज्ञात कीजिए कि 7 व्यंजनों तथा 4 स्वरों में से 3 व्यंजनों तथा 2 स्वरों से कितने शब्द बन सकते हैं ? |
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Answer» 7 व्यंजनों में से 3 व्यंजन चुनने के प्रकार `= ""^(7)C_(3)` 4 स्वरों में से 2 स्वरों में से 2 चुनने के प्रकार `= ""^(4)C_(2)` 7 व्यंजनों में से 3 व्यंजन तथा 4 स्वरों में से 2 स्वर चुनने के कुल प्रकार `= ""^(7)C_(3) xx ""^(4)C_(2)` इस प्रकार हमें 3 व्यंजन तथा 2 स्वर अर्थात 5 अक्षर प्राप्त होते हैं जिन्हें 5! विधियों से विन्यासित किया जा सकता हैं अतः गुणन सिद्धान्त से शब्दों की अभीष्ट संख्या `= ""^(7)C_(3) xx ""^(4)C_(2) xx 5!` `= (7!)/(3!4!) xx (4!)/(2!2!) xx 5!` `= 7xx6xx5xx5x4xx3xx2xx1` `= 25200` |
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| 76. |
यदि `""^(n)C_(x) = ""^(n)C_(y)` तथा `x ne y` तो सिद्ध कीजिए `x + y = n` |
| Answer» `""^(n)C_(x) = ""^(n)C_(y) rArr ""^(n)C_(n-x) = ""^(n)C_(y) rArr n -x = y rArr x + y = n` | |
| 77. |
एक वर्गाकार शीट का आकार `(2m-1) xx(2n-1)` (जहाँ `m gt 0 , n gt 0` ) है इसकी भुजाओं पर लम्ब रेखाएँ खींचकर इसे इकाई क्षेत्रफल के वर्गों में विभाजित किया जाता है । विषम इकाई लम्बाई वाली भजौं के आयतों की संख्या है -A. `(m+n+1)^(2)`B. `mn(m+1)(n+1)`C. `4^(m+n-2)`D. `m^(2)n^(2)` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 78. |
7 लेटर बॉक्स में 5 पत्र कितने प्रकार से रखे जा सकते है । यदि सभी पत्र एक ही लेटर बॉक्स में न डाले जायें तब ये कितने तरीको से डाले जा सकते है ? |
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Answer» प्रत्येक पत्र 7 तरीके से लैटर बॉक्स में डाला जा सकता हे । इसलिए 5 पत्रों को डालने के कुछ प्रकार `= 7^(5) = 16807` एक ही बॉक्स में सभी पत्र डालने के कुल प्रकार `= 7` `rArr` सभी पत्रों को एक ही लैटर बॉक्स में न डालने के कुल प्रकार `= 16807 - 7 = 16800` |
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| 79. |
अंग्रेजी वर्णमाला के 10 अक्षर दिये गये हैं । जिनसे हमें 5 शब्द बनाने है । ऐसे शब्दों कि संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें कम से कम एक अक्षर कि पुनरावृत्ति होती हो । |
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Answer» 10 अक्षरों में से 5 अक्षरों वाले ऐसे शब्दों की संख्या जिसमें एक या अधिक अक्षरों की पुनरावृत्ति होती है `10 xx 10 xx 10 xx 10 xx 10 = 10^(5)` `:. 5` अक्षरों से बनने वाले ऐसे शब्दों की संख्या जिसमें किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं होती है `= ""^(10)P_(5) = 30240` `rArr 5` अक्षरों के ऐसे शब्दों की संख्या जिसमें कम से कम एक अक्षर की पुनरावृत्ति होती है `= 10^(5) - 30240 = 69700` |
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| 80. |
यदि `((2n)!)/(3!(2n-3)!)` तथा `(n!)/(2!(n-2)!), 44:3` के अनुपात में हैं, तो n का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» प्रश्नानुसार `((((2n)!)/(3!(2n-3)!)))/(((n!)/(2!(n-2)!)) ) = 44/3` `rArr ((2n)!2!(n-2)!)/(3!(2n-3)!n!) = 44/3` `rArr (2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)!)/(3!(2n-3)!) .(2!(n-2)!)/(n(n-1)(n-2)!)= 44/3` `rArr(2n(2n-1)(2n-2))/(1.2.3) xx (1.2)/(n(n-1)) = 44/3` `rArr (2n-1)(2n-2) = 22(n-1)` `rArr 4n^(2) - 6n+ 2 = 22n - 22` `rArr 4n^(2) -28+24 = 0` `rArr n^(2 ) - 7n+ 6 =0 rArr(n-1) (n-6) = 0` `rArr n = 1` या `n = 6` |
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| 81. |
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए - (i) `(30!)/(28!)`, (ii) `(11! - 10!)/(9!)`, (iii) L.C.M. `(6!,7!,8!)` |
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Answer» Correct Answer - (i) `870` , (ii) `100`, (iii) `8!` (i) `(11 - 10!)/(9!)= (11 xx10! - 10!)/(9!) = (10!(11 - 1))/(9!)` `= (10 xx 10!)/(9!) = (10 xx 10 xx 9!)/(9!) = 100` |
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| 82. |
8 एक जैसी गेंदों को तीन भिन्न बॉक्सों में कितने प्रकार से बाँटा जा सकता है कि कोई बॉक्स खाली न हो ? इन तरीकों की संख्या है -A. 5B. 21C. `3^(8)`D. `""^(8)C_(3)` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 83. |
शब्द को कितने प्रकार से रखा जा सकता है कि स्वर वर्णमाला के अक्षरानुसार क्रम मेंA. 120B. 240C. 360D. 480 |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 84. |
सिद्ध कीजिए कि `(1)/(9!) + (1)/(10!) + (1)/(11!) = (122)/(11!)` |
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Answer» बायाँ पक्ष `= 1/(9!) + (1)/(10!) + (1)/(11!) =(1)/(9!) + (1)/(10.9!) + (1)/(11.10.19!)` `= 1/(9!) [1+1/10 + 1/(110)]` `= 1/(9!) [(110 + 11 + 1)/(110)]` `= (122)/(110(9!)) = (122)/(11.10.9!) = (122)/(11!) =` दायाँ पक्ष |
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| 85. |
निम्नलिखित को क्रमगुणित में बदलिये । (i) `5.6.7.8.9.10`, (ii) `2.4.6.8.10` |
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Answer» (i) `5.6.7.8.9.10 = (1.2.3.4.5.6.7.8.9.10)/(1.2.3.4) = (10!)/(4!)` (ii) `2.4.6.8.10 = (2.1).(2.2).(2.3).(2.4).(2.5)` `= 2^(5) (1.2.3.4.5) = 5!2^(5)` |
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| 86. |
सिद्ध कीजिए कि - (i) `2.4.6.10.12=2^(6).6!` , (ii) `5.6.7.8.9.10.11.12= (12!)/(4!)` |
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Answer» (i) बायाँ पक्ष `= 2.4.6.8.10.12` `= (2.1) (2.2)(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)` `= 2^(6) (1.2.3.4.5.6)` `= 2^(6),6!` =दायाँ पक्ष (ii) बायाँ पक्ष `=5.6.7.8.9.10.11.12` `= (4!5.6.7.8.9.10.11.12)/(4!)` `= (12!)/(4!)` = दायाँ पक्ष |
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| 87. |
`4!5!` व `6!` का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए । |
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Answer» हम जानते है कि `5! = 5.4!` `6! = 6.5.4!` `:.` लo सo `(4!,5!,6!) = ` लo सo `(4!,5.4!,6.5.4!)` `= 4!.5.6` `= 1 xx 2 xx 3 xx 4 xx 5 xx 6 = 720` |
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