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\( [\vec{a}+\vec{b} \vec{b} \vec{a} \times \vec{b}] \) is equal to (A) \( |\vec{a} \times \vec{b}| \)(B) 0 (C) \( |\vec{a} \times \vec{b}|^{2} \) (D) \( \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{a} \) |
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Answer» Correct option is (C) \(|\vec a \times \vec b |^2\) \([\vec a + \vec b \,\,\,\,\vec b\,\,\,\, \vec a \times \vec b]\) \(= (\vec a + \vec b).(\vec b \times (\vec a \times \vec b))\) \(= (\vec a + \vec b).((\vec b.\vec b)\vec a - (\vec b.\vec a)\vec b)\) \(= (\vec b.\vec b).((\vec a + \vec b).\vec a)- (\vec b .\vec a)((\vec a + \vec b).\vec b)\) \(= (\vec b.\vec b).(\vec a .\vec a + \vec b. \vec a)- (\vec b .\vec a)(\vec a .\vec b + \vec b.\vec b)\) \(= (\vec b.\vec b)(\vec a .\vec a)+ (\vec b.\vec b)(\vec b . \vec a) - (\vec b . \vec a)(\vec a.\vec b)- (\vec b .\vec b) (\vec b .\vec a)\) \(= |\vec b|^2 \,\,|\vec a|^2 - (\vec a. \vec b)^2 \) \((\because \vec a. \vec b = \vec b . \vec a)\) \(= |\vec b|^2 \,\,|\vec a|^2 - (|\vec a| \,|\vec b|\,cos\theta)^2 \) \( = |\vec a|^2 \,|\vec b|^2 - |\vec a|^2 \,|\vec b|^2 cos ^2 \theta\) \(= |\vec a|^2 \,|\vec b|^2 (1 - cos^2\theta)\) \(= |\vec a|^2\, |\vec b|^2 \, sin^2\theta\) \(= (|\vec a| \,|\vec b|\, sin\theta )^2\) = \(|\vec a \times \vec b |^2\) |
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