Solve sinx +sin5x=sin3x

1.	Solve sinx +sin5x=sin3x
Answer» ∴ $x$ have FOUR DIFFERENT VALUES; $x=\frac{2\pi n}{3}$ , $\:x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$ , $x=-\frac{\pi }{6}-\pi n$ and $x=-\frac{5\pi }{6}-\pi n$ Step-by-step EXPLANATION: GIVEN; $sinx+sin5x=sin3x$ ⇒ $sinx+sin5x-sin3x=0$ ⇒ $2sin\frac{x+5x}{2} cos\frac{x-5x}{2} -sin3x=0$ ⇒ $2sin(3x)cos(-2x)-sin(3x)=0$ ⇒ $sin3x(2cos(-2x)-1)=0$ ⇒ $sin 3x=0$ or $2cos(-2x)-1=0$ ∴ $sin 3x=0$ ⇒ $3x=0+2\pi n$ , $\:3x=\pi +2\pi n$ ∴ $x=\frac{2\pi n}{3}$ , $\:x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$ And, ∴ $2cos(-2x)-1=0$ ⇒ $cos(-2x)=\frac{1}{2}$ ⇒ $-2x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ , $-2x=\frac{5\pi }{3}+2\pi n$ ∴ $x=-\frac{\pi }{6}-\pi n$ , $x=-\frac{5\pi }{6}-\pi n$ So, $x$ have four different values; $x=\frac{2\pi n}{3}$ , $\:x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$ , $x=-\frac{\pi }{6}-\pi n$ and $x=-\frac{5\pi }{6}-\pi n$

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