Prove that cos2A+cos4A+cos6A+cos8A=4cosA cos2A cos5A

1.	Prove that cos2A+cos4A+cos6A+cos8A=4cosA cos2A cos5A
Answer» $\\ \large{ \bold{ \underline{TO \: \: PROVE} : - }} \\ \\$ $\\ \implies { \bold{ cos(2A)+cos(4A)+cos(6A)+cos(8A)=4cos(A) cos(2A) cos(5A) }} \\$ $\\ \large{ \bold{ \underline{Solution} : - }} \\$ • Let's take L.H.S. – $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: cos(2A) + cos(4A) + cos(6A) + cos(8A) }} \\$ • We know that – $\\ \\ \: \: \: \large \bigstar \: \: { \red{ \boxed{ \bold{ cos(C) + cos(D) = 2cos( \frac{C + D}{2} ) cos( \frac{C - D}{2} ) }}}} \\ \\$ • Now APPLYING formula – $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( \frac{2A + 4A}{2} ) cos( \frac{2A - 4A}{2} ) + 2 cos( \frac{6A + 8A}{2} ) cos( \frac{6A - 8A}{2} ) }} \\$ $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( \frac{ 6A}{ 2} ) cos( \frac{ - 2A }{2} ) + 2 cos( \frac{14A}{2} ) cos( \frac{ - 2A}{2} ) }} \\$ $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( 3A) cos( - A ) + 2 cos(7A ) cos( - A ) }} \\$ • Using IDENTITY – $\\ \\ \: \: \: \large \bigstar \: \: \: { \red{ \boxed{ \bold{ cos( - \theta) = cos( \theta) }}}} \\ \\$ $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( 3A) cos( A ) + 2 cos(7A ) cos( A ) }} \\$ $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( A ) [ cos(3A ) \: + cos(7A )\: ] }} \\$ • Now again applying formula – $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( A ) [ 2cos( \frac{3A +7A }{2} ) \: cos( \frac{3A - 7A}{2} )\: ] }} \\$ $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( A ) [ 2cos( \frac{10A }{2} ) \: cos( \frac{ - 4A}{2} )\: ] }} \\$ $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( A ) [ 2cos( 5A ) \: cos( - 2A )\: ] }} \\$ $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( A ) [ 2cos( 5A ) \: cos( 2A )\: ] }} \\$ $\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 4 cos( A ) \: cos( 2A )\: cos( 5A ) }} \\$ $\\ \: \: \: \: { \bold{ = R.H.S. }} \\$ ADDITIONAL information :– $\\ \: \: \: \large \bigstar \: \: { \red { \bold{ sin(C) + sin(D) = 2sin( \frac{C+ D}{2} ) cos( \frac{ C - D}{2} ) }}} \\$ $\\ \: \: \: \large \bigstar \: \: { \red { \bold{ sin(C) - sin(D) = 2cos( \frac{C + D}{2} ) sin( \frac{C - D}{2} ) }}} \\$ $\\ \: \: \: \large \bigstar \: \: { \red { \bold{ cos(C) + cos(D) = 2cos( \frac{C + D}{2} ) cos( \frac{C - D}{2} ) }}} \\$ $\\ \: \: \: \large \bigstar \: \: { \red { \bold{ cos(C) - cos(D) = 2sin( \frac{C + D}{2} ) sin( \frac{D - C}{2} ) }}} \\$

Answer»

$\\ \large{ \bold{ \underline{TO \: \: PROVE} : - }} \\ \\$

$\\ \implies { \bold{ cos(2A)+cos(4A)+cos(6A)+cos(8A)=4cos(A) cos(2A) cos(5A) }} \\$

$\\ \large{ \bold{ \underline{Solution} : - }} \\$

• Let's take L.H.S. –

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: cos(2A) + cos(4A) + cos(6A) + cos(8A) }} \\$

• We know that –

$\\ \\ \: \: \: \large \bigstar \: \: { \red{ \boxed{ \bold{ cos(C) + cos(D) = 2cos( \frac{C + D}{2} ) cos( \frac{C - D}{2} ) }}}} \\ \\$

• Now APPLYING formula –

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( \frac{2A + 4A}{2} ) cos( \frac{2A - 4A}{2} ) + 2 cos( \frac{6A + 8A}{2} ) cos( \frac{6A - 8A}{2} ) }} \\$

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( \frac{ 6A}{ 2} ) cos( \frac{ - 2A }{2} ) + 2 cos( \frac{14A}{2} ) cos( \frac{ - 2A}{2} ) }} \\$

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( 3A) cos( - A ) + 2 cos(7A ) cos( - A ) }} \\$

• Using IDENTITY –

$\\ \\ \: \: \: \large \bigstar \: \: \: { \red{ \boxed{ \bold{ cos( - \theta) = cos( \theta) }}}} \\ \\$

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( 3A) cos( A ) + 2 cos(7A ) cos( A ) }} \\$

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( A ) [ cos(3A ) \: + cos(7A )\: ] }} \\$

• Now again applying formula –

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( A ) [ 2cos( \frac{3A +7A }{2} ) \: cos( \frac{3A - 7A}{2} )\: ] }} \\$

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( A ) [ 2cos( \frac{10A }{2} ) \: cos( \frac{ - 4A}{2} )\: ] }} \\$

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( A ) [ 2cos( 5A ) \: cos( - 2A )\: ] }} \\$

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 2 cos( A ) [ 2cos( 5A ) \: cos( 2A )\: ] }} \\$

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = \: 4 cos( A ) \: cos( 2A )\: cos( 5A ) }} \\$

$\\ \: \: \: \: { \bold{ = R.H.S. }} \\$

ADDITIONAL information :–

$\\ \: \: \: \large \bigstar \: \: { \red { \bold{ sin(C) + sin(D) = 2sin( \frac{C+ D}{2} ) cos( \frac{ C - D}{2} ) }}} \\$

$\\ \: \: \: \large \bigstar \: \: { \red { \bold{ sin(C) - sin(D) = 2cos( \frac{C + D}{2} ) sin( \frac{C - D}{2} ) }}} \\$

$\\ \: \: \: \large \bigstar \: \: { \red { \bold{ cos(C) + cos(D) = 2cos( \frac{C + D}{2} ) cos( \frac{C - D}{2} ) }}} \\$

$\\ \: \: \: \large \bigstar \: \: { \red { \bold{ cos(C) - cos(D) = 2sin( \frac{C + D}{2} ) sin( \frac{D - C}{2} ) }}} \\$

Prove that cos2A+cos4A+cos6A+cos8A=4cosA cos2A cos5A

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