Let z = a+ib
|z+1| = z+2(1+i)
=> |(a+ib) + 1|                                     =        a+ib+2+2i
=> |(a+1) + ib|                                     =        a+2 + i(b+2)
=> root[(a+1)² +b²]                        =        (a+2) + i(b+2)

comparing imaginary parts 
b+2                                                     =         0
=> b                                                    =         -2
comparing real parts
root[(a+1)² + b²]                            =        (a+2)
=> root(a²+1+2a +b²)                    =        a+2
putting b=-2 here 
=> root( a²+1+2a + 4)                      =         a+2
=> root(a²+2a + 5)                           =         a+2
squaring both sides
=> a²+2a + 5                                    =         a²+4+4a
​=> 1                                                    =         2a
=> a                                                    =         1/2

W.K.T -> z= a+ib
substituting a=1/2 and b=-2 in z= a+ib
​we get,  z = 1/2 - 2i