If x= 3+√5/2, show that x+1/x=3. also find x cube +1/x cubegive the

1.	If x= 3+√5/2, show that x+1/x=3. also find x cube +1/x cubegive the answer fast
Answer» Step-by-step explanation: GIVEN: $x=\frac{3+\sqrt{5} }{2}$ To prove: $x+\frac{1}{x}=3$ Proof: $\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{3+\sqrt{5} }{2} }$ ⇒ $1\div\frac{3+\sqrt{5}}{2 }$ ⇒ $1\times\frac{2}{3+\sqrt{5} }$ ⇒ $\frac{1\times2}{3+\sqrt{5} }$ ⇒ $\frac{2}{3+\sqrt{5} }$ On RATIONALISING the denominator, ⇒ $\frac{2}{3+\sqrt{5} }\times\frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5} }$ ⇒ $\frac{2(3-\sqrt{5}) }{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$ ⇒ $\frac{2(3-\sqrt{5}) }{(3)^2-(\sqrt{5})^2}$ ⇒ $\frac{2(3-\sqrt{5}) }{9-5}$ ⇒ $\frac{2(3-\sqrt{5}) }{4}$ ⇒ $\frac{3-\sqrt{5} }{2}$ ∴ $\frac{1}{x} =\frac{3-\sqrt{5} }{2}$ $x+\frac{1}{x}=\frac{3+\sqrt{5} }{2}+(\frac{3-\sqrt{5} }{2} )$ ⇒ $\frac{3+\sqrt{5} }{2}+\frac{3-\sqrt{5} }{2}$ ⇒ $\frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5} }{2}$ ⇒ $\frac{3+3+\sqrt{5}-\sqrt{5} }{2}$ ⇒ $\frac{6+0}{2}$ ⇒ $\frac{6}{2}$ ⇒ $3$ ∴ $x+\frac{1}{x}=3$ . HENCE proved. To FIND: $x^3+(\frac{1}{x})^3$ Solution: $x^3+(\frac{1}{x})^3$ $=(\frac{3+\sqrt{5} }{2})^3 +(\frac{3-\sqrt{5} }{2})^3$ ⇒ $\frac{(3+\sqrt{5})^3 }{(2)^3}+\frac{(3-\sqrt{5})^3 }{(2)^3}$ ⇒ $\frac{(3)^3+(\sqrt{5})^3 +3(3)^2(\sqrt{5})+3(3)(\sqrt{5})^2 }{8}+\frac{(3)^3-(\sqrt{5})^3 -3(3)^2(\sqrt{5})+3(3)(\sqrt{5})^2 }{8}$ $($ ∵ $(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2, (a-b)^3=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2)$ ⇒ $\frac{27+5\sqrt{5} +3(9)(\sqrt{5})+3(3)(5) }{8}+\frac{27-5\sqrt{5} -3(9)(\sqrt{5})+3(3)(5) }{8}$ ⇒ $\frac{27+5\sqrt{5} +27\sqrt{5}+45 }{8}+\frac{27-5\sqrt{5} -27\sqrt{5}+45 }{8}$ ⇒ $\frac{27+45+5\sqrt{5} +27\sqrt{5} }{8}+\frac{27+45-5\sqrt{5} -27\sqrt{5} }{8}$ ⇒ $\frac{72+32\sqrt{5} }{8}+\frac{72-32\sqrt{5} }{8}$ ⇒ $\frac{72+32\sqrt{5} +72-32\sqrt{5} }{8}$ ⇒ $\frac{72+72+32\sqrt{5} -32\sqrt{5} }{8}$ ⇒ $\frac{144+0 }{8}$ ⇒ $\frac{144}{8}$ ⇒ $18$ ∴ $x^3+(\frac{1}{x})^3=18$ .