If cos2B = \(\frac{cos\,(A+B)}{cos\,(A-C)}\), then show that tan A, ta

1.	If cos2B = \(\frac{cos\,(A+B)}{cos\,(A-C)}\), then show that tan A, tan B and tan C are in G.P.
Answer» cos2B = \(\frac{cos\,(A+B)}{cos\,(A-C)}\) ⇒ \(\frac{1-tan^2\,B}{1+tan^2\,B}\) = \(\frac{cos\,A\,cos\,C-sin\,A\,sin\,C}{cos\,A\,cos\,C\,sin\,A\,sin\,C}\) ⇒ \(\frac{1-tan^2\,B}{1+tan^2\,B}\) = \(\frac{1-tan\,A\,tan\,C}{1+tan\,A\,tan\,C}\) (On dividing the numerator and denominator of RHS by cos A cos C) ⇒ 1 + tan A tan C – tan² B – tan A tan² B tan C = 1 + tan² B – tan A tan C – tan A tan² B tan C ⇒ 2 tan A tan C = 2 tan² B ⇒ tan A . tan C = tan² B ⇒ tan A, tan B, tan C are in G.P

If cos2B = \(\frac{cos\,(A+B)}{cos\,(A-C)}\), then show that tan A, tan B and tan C are in G.P.

Answer»

cos2B = \(\frac{cos\,(A+B)}{cos\,(A-C)}\)

⇒ \(\frac{1-tan^2\,B}{1+tan^2\,B}\) = \(\frac{cos\,A\,cos\,C-sin\,A\,sin\,C}{cos\,A\,cos\,C\,sin\,A\,sin\,C}\)

⇒ \(\frac{1-tan^2\,B}{1+tan^2\,B}\) = \(\frac{1-tan\,A\,tan\,C}{1+tan\,A\,tan\,C}\) (On dividing the numerator and denominator of RHS by cos A cos C)

⇒ 1 + tan A tan C – tan² B – tan A tan² B tan C = 1 + tan² B – tan A tan C – tan A tan² B tan C

⇒ 2 tan A tan C = 2 tan² B ⇒ tan A . tan C = tan² B ⇒ tan A, tan B, tan C are in G.P