If α + β = \(\frac{π}{2}\) and β + γ = α, then show that tan �

1.	If α + β = \(\frac{π}{2}\) and β + γ = α, then show that tan α = tan β = 2tan γ.
Answer» α + β = \(\frac{π}{2}\) ⇒ α = \(\frac{π}{2}\) - β ⇒ tan α = tan \(\bigg(\frac{π}{2}- β\bigg)\) ⇒ tan α = cot β ⇒ tan α tan β = 1. …(i) Now, β + γ = α ⇒ γ = α - β ⇒ tan γ = tan (α - β) ⇒ tan γ = \(\frac{tan\,α - tan\,β}{1+tan\,α\,tan\,β}\) ⇒ tan γ = \(\frac{tan\,α-tan\,β}{1+1}\) = \(\frac{tan\,α-tan\,β}{2}\) (∵ tan α tan β = 1) ⇒ 2 tan γ = tan α - tan β ⇒ tan α = tan β + 2 tan γ .

If α + β = \(\frac{π}{2}\) and β + γ = α, then show that tan α = tan β = 2tan γ.

Answer»

α + β = \(\frac{π}{2}\) ⇒ α = \(\frac{π}{2}\) - β ⇒ tan α = tan \(\bigg(\frac{π}{2}- β\bigg)\)

⇒ tan α = cot β ⇒ tan α tan β = 1. …(i)

Now, β + γ = α ⇒ γ = α - β

⇒ tan γ = tan (α - β) ⇒ tan γ = \(\frac{tan\,α - tan\,β}{1+tan\,α\,tan\,β}\)

⇒ tan γ = \(\frac{tan\,α-tan\,β}{1+1}\) = \(\frac{tan\,α-tan\,β}{2}\) (∵ tan α tan β = 1)

⇒ 2 tan γ = tan α - tan β ⇒ tan α = tan β + 2 tan γ .