दिया गया: ABC एक त्रिभुज है जिसमें भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिंदु D, E और F हैं।

दिखाने के लिए: (i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है। (ii) ar (DEF) = 1 / 4ar (ABC) (iii) ar (BDEF) = 1 / 2A (ABC)

प्रमाण: i) चूँकि E और F AC और AB के मध्यबिंदु हैं।

BC || FE & FE = = BC = BD

(मध्य बिंदु प्रमेय द्वारा)

बीडी || FE और BD = FE

इसी तरह, BF || DE & BF = DE

इसलिए, BDEF एक समांतर चतुर्भुज है

[[विपरीत पक्षों की एक जोड़ी समान और समानांतर है]

(ii) इसी तरह, हम यह साबित कर सकते हैं कि FDCE और AFDE भी समांतर चतुर्भुज हैं।

अब, बीडीईएफ एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए इसका विकर्ण एफडी समान क्षेत्रों के दो त्रिकोण में विभाजित करता है।

∴ ar (∴BDF) = ar ((DEF) - (i)

समानांतर चतुर्भुज AFDE में

ar ((AFE) = ar ()DEF) (EF एक विकर्ण है) - (ii)

Parallelogram FDCE में

ar (FCDE) = ar ()DEF) (DE एक विकर्ण है) - (iii)

से (i), (ii) और (iii)

ar (ΔBDF) = ar (=AFE) = ar ()CDE) = ar ((DEF) ..... (iv)

ar (ΔBDF) + ar (FEAFE) + ar ()CDE) + ar (arDEF) = ar (CABC)

4 अर (arDEF) = ar ()ABC) (eq iv से)

ar (∆DEF) = 1/4 ar ()ABC) ........ (v)